639227.pdf - 1 G ALAT DALAM K OMPUTASI N UMERIK D i dalam praktek sehari-hari misalnya dalam bidang teknik dan bisnis sering terdapat kasus gagalnya

639227.pdf - 1 G ALAT DALAM K OMPUTASI N UMERIK D i dalam...

This preview shows page 1 out of 31 pages.

Unformatted text preview: 1 G ALAT DALAM K OMPUTASI N UMERIK D i dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik dan bisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu masalah matematika. Hal ini utamanya bukan disebabkan oleh cara mencari penyelesaian yang tidak diketahui, namun karena adanya kenyataan bahwa penyelesaian yang diinginkan tidak dapat dinyatakan secara elementer atau adanya fungsi-fungsi lain yang sudah diketahui. Oleh karena itu komputasi numerik menjadi sangat penting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan metodemetode matematika dalam berbagai bidang sains dan teknologi serta hadirnya teknologi pendukung berupa komputer berkemampuan tinggi. Komputasi numerik merupakan suatu pendekatan penyelesaian masalah matematika dengan menggunakan beberapa metode numerik. Metode numerik adalah suatu metode untuk menyelesaikan masalahmasalah matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritmetika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Tergantung pada kekomplekan masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan, metode yang dipakai, dan seterusnya, proses penyelesaian mungkin memerlukan beberapa puluh sampai jutaan operasi. Apabila banyaknya operasi hitung yang diperlukan hanya beberapa puluh, maka seseorang dapat menyelesaikan masalahnya secara manual atau menggunakan kalkulator. Akan tetapi jika penyelesaian suatu masalah memerlukan jutaan operasi hitung, maka pemakaian komputer berkecepatan tinggi merupakan kebutuhan yang tidak dapat dihindari. Di sinilah kemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam komputasi numerik. Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien (memerlukan sesedikit mungkin operasi hitung) merupakan aspek lain yang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan se1 Pengertian komputasi numerik dan metode numerik Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik 2 makin terasa di dalam menyelesaikan masalah-masalah berskala besar, yang melibatkan ribuan variabel misalnya. C ONTOH p 1.1. Hitunglah 2 sampai empat angka desimal. Penyelesaian: p 2 Suatu algoritma untuk menghitung dengan hanya menggunakan operasi perkalian, pembagian dan penjumlahan Terdapat lebih daripada satu algoritma, yang hanya menggunakan empat operasi aritmetika dasar (penjumlahan/pengurangan dan perkalian/pembagian). Salah satunya, yang cukup populer, adalah x 1 = 1 ; 1 xn =  2 xn 1 +  2 xn ; untuk n = 2; 3; 4; : : : : 1 Dengan menggunakan algoritma di atas kita peroleh, untuk n = 2; 3; 4; 5, x 2 = 3 2 ; x 3 x 5 = = 17 12 1 2 ;  x 4 577 408 + = 1 2 816 577   17 12 = + 24  17 = 577 408 ; 665857 470832 atau, dalam bentuk pecahan desimal x 2 ; = 1 5000000 x 3 : = 1 4166667 x 4 : = 1 4142157 Jadi, hampiran sampai empat angka desimal untuk Program MATLAB untuk menghitung hampiran p 2 p 2 x 5 : = 1 4142136 adalah 1.4142. Berikut adalah contoh pemakaian komputer (dalam hal ini dengan menggunakan program MATLAB) untuk menyelesaikan masalah di atas. Anda dapat mengubah batas nilai e untuk mendapatkan tingkat keakuratan yang diinginkan. >>x=1;e=1; >>while e>0.00001, y=x;x=(y+2/y)/2 e=abs(x-y); end x = 1.5 x = 1.4166667 Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) : Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik 4 rapa parameter masukan. Efek galat data awal dapat diestimasikan dengan menggunakan cara-cara sederhana, misalnya dengan menggunakan variasi data awal dalam batas-batas galatnya dan dengan menetapkan penyelesaiannya. Apabila terdapat beberapa data awal yang memiliki galat yang sifatnya alami, maka pemakaian metode statistika akan bermanfaat. Dalam beberapa kasus, galat bawaan dapat dianggap sebagai galat suatu fungsi yang diakibatkan oleh galat argumen (masukannya). Dalam kebanyakan kasus, metode-metode numerik merupakan hampiran, sehingga sekalipun data awalnya tidak mengandung galat dan semua operasi aritmetika dilakukan secara ideal, metode-metode tersebut menghasilkan penyelesaian masalah semula yang memuat beberapa galat yang disebut galat metode (yang dipakai). Hal ini disebabkan karena suatu metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah lain, yang lebih sederhana, sebagai hampiran masalah asli. Dalam sejumlah kasus, metode numerik yang dipilih disusun berdasarkan pada proses tak berhingga, yang limitnya menuju penyelesaian yang diinginkan.1 Akan tetapi, dalam kenyataannya tidak mungkin melakukan semua proses tersebut, sehingga prosesnya harus dihentikan pada langkah tertentu dan hasilnya adalah suatu hampiran penyelesaian. Suatu metode numerik biasanya tergantung pada beberapa parameter yang dapat dikendalikan. Beberapa contoh parameter demikian adalah banyaknya iterasi di dalam menyelesaikan sistem persamaan dan banyaknya suku yang harus dihitung di dalam menjumlahkan suatu deret, dan lebar interval yang digunakan untuk menghitung hampiran suatu integral tentu. Galat suatu metode numerik atau estimasinya biasanya tergantung pada parameter yang sesuai. Estimasi galat yang diperoleh mungkin dinyatakan dalam kuantintas-kuantitas yang diketahui. Dengan estimasi galat ini, nilai-nilai parameter yang menentukan galat metode tersebut berada dalam batas-batas yang diinginkan dapat ditentukan. Akan tetapi, dalam kebanyakan kasus estimasi galat memuat pengali-pengali konstanta yang tidak diketahui nilainya, dan parameter metode berbentuk suatu fungsi pangkat atau fungsi eksponensial. Dengan estimasi galat demikian laju penurunan galat dapat diatur dengan mengubah parameter metode. Laju penurunan galat merupakan karak1 Sebagai contoh adalah perhitungan nilai suatu fungsi dengan menggunakan beberapa x2 x4 x6 suku pertama deret tak berhingga, seperti x : : :, hanya dihitung 2! 4! 6! n suku pertama, sisanya diabaikan. os = 1 Pengantar Komputasi Numerik + + c Sahid (2004 – 2012) 1.1 Sumber-sumber Galat 5 teristik penting suatu metode numerik. Galat yang paling rumit di dalam komputasi numerik adalah galat pembulatan (round-off errors), yang diperoleh selama pemakaian operasioperasi aritmetika. Apabila banyaknya operasi yang dilakukan tidak besar, maka galat-galat pembulatan dalam kalkulasi manual dapat dihitung dengan rumus-rumus perambatan galat yang akan dibahas di belakang. Terdapat dua situasi yang mungkin terjadi dalam penyelesaian suatu masalah numerik dengan komputer. Pertama, jika banyaknya operasi aritmetika yang dilakukan sedikit, maka galat-galat pembulatan mungkin dapat diabaikan, karena komputer menggunakan sepuluh atau lebih angka desimal signifikan, sementara hasil akhir biasanya diambil sampai lima angka signifikan. Kedua, jika masalah yang harus diselesaikan cukup rumit (misalnya masalah persamaan diferensial parsial), dan proses perhitungan hampiran penyelesaian yang diinginkan memerlukan, katakan 1010 operasi aritmetika, maka tidaklah realistik dalam hal ini untuk menghitung efek galat pembulatan pada setiap operasi. Dalam kasus seperti ini galat pembulatan dapat dikatakan bersifat acak. Namun, bagaimanapun juga galat pembulatan tidak dapat diabaikan dalam menyelesaikan masalah-masalah numerik yang rumit. Suatu masalah numerik mungkin dapat diselesaikan dengan beberapa metode hampiran yang berbeda. Sensitivitas galat pembulatan pada dasarnya tergantung pada metode numerik yang dipilih. Suatu metode numerik dianggap berhasil jika galat yang diberikan merupakan pecahan dari galat bawaan, dan galat karena pembulatan, disebut galat komputasi, lebih kecil daripada galat metode. Apabila tidak ada galat bawaan, maka galat metode haruslah kurang daripada tingkat keakuratan yang diberikan. Selain persyaratan tingkat keakuratan, metode numerik yang dipilih juga harus memenuhi sejumlah persyaratan lain. Utamanya, metode tersebut menggunakan seminimum mungkin operasi, memerlukan lebih sedikit unit penyimpanan (memori) pada komputer, dan akhirnya, secara logika lebih sederhana, sehingga lebih cepat dijalankan oleh komputer. Sejumlah syarat yang diberikan mungkin saling menjadi kendala, sehingga pemilihan metode numerik boleh jadi memerlukan suatu kompromi. Suatu algoritma yang menghasilkan galat kumulatif yang terbatas, sehingga hampiran yang diperoleh memenuhi tingkat keakuratan tertentu, disebut algoritma stabil. Algoritma yang menghasilkan galat kumulatif yang merusak hampiran penyelesaian yang diperoleh, sehingga Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 7 Dalam sistem biner, basis perpangkatan adalah 2, sebagai pengganti basis 10 dalam sistem desimal. Jadi, bilangan 1454 dalam sistem biner dinyatakan sebagai 1454 = 1024 + 256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 2 = 1 = 10110101110dua  2 10 +1  8 2 +1  7 2 + 1   1 2 5 + 1  3 2  + 1 2 2 + 1  1 2 Catatan:   Indeks “dua” atau “2” digunakan untuk membedakan dengan penulisan sistem desimal, sehingga 110 berarti seratus sepuluh, sedangkan 110dua dan 1102 berarti enam. Fungsi MATLAB dec2bin dapat digunakan untuk mendapatkan representasi dalam sistem biner suatu bilangan bulat positif N . >>dec2bin(1454) ans = 10110101110 >>dec2bin(1563) ans = 11000011011 Secara umum, jika N bilangan bulat positif yang dapat dinyatakan dalam ekspansi berbasis pangkat dua sebagai N = dengan bk bn  2n + bn 2f 0 ; 1  2 n 1 + ::: + b 2  2 2 + b 1  2 1 + b 0  0 2 ; Nilai tempat dalam sistem biner g, maka dalam sistem biner N dapat dinyatakan sebagai 1 N = bnbn :::b b b 1 2 1 0 dua : Jika diketahui bilangan bulat positif N (dalam bentuk desimal), maka bentuk binernya dapat dicari dengan menggunakan algoritma sebagai Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik 8 berikut Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan biner N q q dengan bk sebagai 2f ; 0 g. 1 qn qn q q 2q = 2 0 = 2 1 = .. . b b + b 0 + 0 1 + 1 2 q q 2 2 = 2 n 1 = 2 n + 1 (1.1) bn bn ; + 1 (qn =0); Selanjutnya, dalam sistem biner N dapat dinyatakan N = bn bn :::b b b 1 2 1 0 dua : C ONTOH 1.2. Dengan menggunakan algoritma 1.1, diterapkan pada N 1454 = 2 727 = 2 363 = 2 181 = 2     727 + 0 90 = 2 363 + 1 45 = 2 181 + 1 22 = 2 90 + 1 11 = 2     , didapatkan = 1454 45 + 0 5 = 2 22 + 1 2 = 2 11 + 0 1 = 2    2 + 1 1 + 0 ; 0 + 1 5 + 1 sehingga 1454 = 10110101110dua , seperti contoh sebelumnya. 1.2.2 Sistem Heksadesimal Dalam sistem heksadesimal digunakan basis perpangkatan 16 dan semua bilangan dinyatakan dengan menggunakan maksimum 16 digit yang berbeda, yang biasanya dinyatakan sebagai ; 1; 2; :::; 9; A; B; C; D; E; F; 0 dengan A16 = 10, B16 Sebagai contoh, CA 14 16 = 1  , C16 = 11 3 16 + 4  16 = 12 2 , D16 + (12)  , E16 = 13 16 1 + (10) = 14  , dan F16 0 16 = 5322 . = 15 : Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan heksadesimal analog dengan algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan biner. Dalam hal ini digunakan pembagi 16. Sistem heksadesimal memiliki hubungan erat dengan sistem biner. Konversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dan sebaliknya dapat Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 9 dilakukan secara mudah. Untuk mengkonversi bilangan heksadesimal ke bilangan biner, ganti setiap digit dengan representasi binernya. Sebagai contoh, AC 2 16 = 1010101100dua ; karena 216 = 10dua ; A 16 = 10 = 1010dua ; C 16 = 12 = 1100dua : Sebaliknya, untuk mengubah bilangan biner ke bilangan heksadesimal, kelompokkan setiap empat bit dari kanan ke kiri, dan ganti setiap empat bit tersebut dengan nilai heksadesimalnya. Sebagai contoh, 1101001101dua = 34 D ; 16 karena 1101dua = 13 = D ; 16 0100dua = 4 = 416 ; 11dua = 3 = 316 : 1.2.3 Bilangan Pecahan dan Deret Dalam komputasi numerik, nilai-nilai pecahan dinyatakan dalam bentuk desimal. Setiap bilangan pecahan rasional p=q , q 6= 0, dinyatakan sebagai pecahan desimal yang terdiri atas berhingga digit atau tak berhingga digit berulang. Berikut adalah beberapa contoh = 1=3 1=7 1 2 = = = : ::: = 0:5 0:333333::: = 0:333333 0:142857142857::: = 0:142857142857 0 50000000 Ekspansi desimal pecahan 1=3 memuat tak berhingga digit 3 secara berulang, sedangkan ekspansi desimal pecahan 1=7 memuat beberapa digit yang diulang tak berhingga kali, yakni “142857”. Apabila ekspansi desimal ditulis hanya sampai beberapa digit berhingga, maka digit-digit terakhir yang berulang diberi garis atas. Dalam contoh ekspansi 1=3 di atas 3 artinya digit 3 berulang tak berhingga kali, sedangkan pada 1=7, 142857 artinya 142857 berulang tak berhingga kali. Notasi tersebut berlaku juga untuk ekspansi pecahan biner (akan dijelaskan nanti). Dalam praktek kita hanya mengambil beberapa digit untuk mengPengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 11 53 1. Perhatikan bahwa 64 = = = = . = 1 2 + 1 4 + 1 16 + 1 64 Oleh karena itu, dalam sistem biner 53 64 : = 0 110101 dua . 2. Perhatikan deret geometri yang konvergen ke nilai 1=2: = = = = = 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + ::: = 1=2: Jadi, dalam sistem biner 0:5 dinyatakan sebagai : : ::: dua = 0:111111 dua = 0:1dua : 0 5 = 0 111111 Dari contoh di atas, ternyata pecahan biner juga dapat memuat tak berhingga digit berulang. Cara menyingkat digit-digit yang berulang sama dengan cara penulisan pada sistem desimal, yakni dengan memberi garis di atas digit-digit yang berulang. Algoritma berikut dapat digunakan untuk mencari penyajian biner suatu pecahan 0 < R < 1. R 2F 2F 2F 2F 2 Fn 2 = 1 = 2 = 3 = 4 = 1 .. . = .. . b b b b b 1 2 3 4 5 F + F + F + F + F + 1 2 3 4 5 bn + Fn b b b b b 1 2 3 4 5 .. . int(2R) = int(2F ) = int(2F ) = int(2F ) = int(2F ) F F F F F = 1 1 2 2 3 3 4 4 bn = int(2Fn .. . .. . 1) 5 fra (2R) = fra (2F ) = fra (2F ) = fra (2F ) = fra (2F ) = 1 2 3 (1.2) 4 Fn = fra (2Fn .. . Algoritma untuk mengubah pecahan desimal ke pecahan biner 1) dengan int(x) adalah bagian bulat x dan fra (x) adalah bagian pecahan x. Proses tersebut mungkin berhenti setelah langkah ke-n (jika didapatkan Fn = 0), mungkin berlanjut terus. Selanjutnya, representasi biner R adalah R = 0:b b b :::bn :::dua : 1 C ONTOH 1.4. Nyatakan pecahan 53 64 2 3 dalam bentuk pecahan biner! Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 13 biner dengan perpangkatan 2 akan menggeser titik (koma) pemisah bagian bulat dan bagian pecahan. Misalnya, 53 64 6 2  53 64 : = 0 110101dua = 110101dua : Aturan pergeseran titik tersebut benar, karena memang (Silakan diperiksa!) 53 = 110101dua . 1.2.5 Notasi Ilmiah (Scientific Notation) Cara baku untuk menyajikan bilangan riil, disebut notasi ilmiah (scientific notation), dapat dinyatakan dalam bentuk q  10 n ; Notasi Ilmiah (Scientific Notation) dengan 1  q < 10. Bilangan q disebut mantis dan n disebut eksponen. Berikut adalah contoh-contoh penyajian bilangan dengan notasi ilmiah. : :  1. 0 000342 = 3 42 2. 34 4108 = 3 44108 3. 9800000 = 9 8 : :      : 4. A = 6:02252 5. 1 K : = 1 024 6. 0 = 8 8542 : 7. 0 : = 1 2566 10  10 4 10 6 23 (bilangan Avogadro dalam kimia) 10 3 (pengertian kilo dalam ilmu komputer) 10 10 10 12 (konstanta dielektrik) 6 (permiabilitas). 1.2.6 Titik-Mengambang Normal (Normalized Floating-Point) Misalkan x adalah suatu bilangan desimal bukan nol. Kita dapat menyatakan x dalam bentuk x = :m:10p ; (1.3) dengan  = +1 atau  = 1, dan 0:1  m < 1. Besaran  , m, dan p berturut-turut disebut tanda, mantis, dan eksponen atau pangkat. Sebagai contoh, : : 13 642 = 0 13642 Pengantar Komputasi Numerik  10 2 : c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 15 bit pangkat, bernilai 975  p  1071, dan sebuah bit tanda. Skema penyajian titik-mengambang ini dijelaskan pada Gambar 1.1.  pangkat (p) |{z} | {z Bit 1 Bit 2 } |mantis (m) {z Bit 12 13 } 60 Gambar 1.1: Alokasi bit tanda ( ), mantis (m) dan pangkat (p) pada komputer CDC dengan 60-bit titik-mengambang 2. Komputer DEC VAX menggunakan penyajian titik-mengambang 32-bit, seperti skema pada Gambar 1.2. Mantis terdiri atas 24 bit (bernilai 12  m < 1), pangkat terdiri atas 8 bit (bernilai 127  p  127), dan satu bit tanda. Oleh karena 12  m < 1, maka m = 0:1b b :::b 2 3 24 dua : Bit pertama 1 tidak disimpan secara eksplisit di dalam memori, hanya bit b2 , b3 , ..., dan b24 yang disimpan di dalam memori. Bit pertama 1 selalu disisipkan ke dalam penyajian tersebut setiap kali dilakukan operasi hitung yang melibatkan m.  pangkat (p) |{z} | {z Bit 1 Bit 2 } |mantis (m) {z 9 Bit 10 } 32 Gambar 1.2: Alokasi bit tanda ( ), mantis (m) dan pangkat (p) pada komputer DEC VAX dengan 32-bit titik-mengambang 3. Pada koprosesor aritmetika yang digunakan pada komputer-komputer mikro, misalnya keluarga Intel 80X87 dan Motorola 6888X, digunakan Aritmetika Titik-Mengambang IEEE Baku. Dalam standard ini, yang merupakan notasi IEEE baku presisi tunggal, mantis m dinormalkan sehingga memenuhi 1  m < 2, menggunakan 24 bit, sebuah bit disembunyikan seperti pada DEC VAX. Pangkat p memiliki nilai-nilai 126  p  127 = 28 1. Dalam sistem ini terdapat penyajian untuk 1, misalnya untuk menyatakan 1/0, dan nan, yang berarti bukan bilangan (not a number), misalnya untuk menyatakan 0/0. Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 17 but adalah 0111111110111dua , yakni bilangan yang memiliki mantis terbesar (= 0:11111111dua ) dan eksponen terbesar (=+7). Jadi bilangan tersebut adalah 1111111:1dua =10000000:0dua 0:1dua =27 0:5 = 126:5. Bilanganbilangan yang lebih besar daripada nilai tersebut tidak dapat disajikan dengan notasi di atas, dan disebut nilai overflow. C ONTOH 1.8. Misalkan digunakan mantis m pada (1.4) yang memuat 32 bit. Dalam hal ini, m dapat dituliskan sebagai m = 0:1b2 b3 b4 :::b31 b32 dua . Nilai pecahan 1 10 : = 0 000110011001100110011001100110011 dua ; oleh komputer tersebut disimpan sebagai hampiran 1 10  |: {z } 0 1100110011001100110011001100 dua memuat bit signif ikan 32  2 3 : Galat hampiran tersebut sebesar  : 0 1100110011 dua 35 2 P  : 2 328306437  10 11 : Jika komputer harus menghitung 100000 0:1 hasilnya bukan 10000, melainkan k =1 hampirannya yang memiliki galat lebih besar daripada 10000  2:328306437  11 6 10 = 2:328306437  10 . Silakan Anda coba sendiri dengan kalkulator 10 digit untuk mendapatkan berapa besar galat yang sesungguhnya! C ONTOH 1.9. Perhatikan rumus untuk menghitung nilai z z= p x 2 + y : 2 Jika x dan y cukup besar, maka x2 + y 2 mungkin menyebabkan overflow, sekalipun nilai z berada dalam jangkauan titik-mengambang. Untuk menghindari hal ini dapat digunakan rumus alternatif ( z= p jxj p jyj y=x) ; 0 x=y) ; 0 1 + ( 1 + ( 2 2 Di sini, nilai di dalam tanda akar berbentuk 1 + Pengantar Komputasi Numerik  jyj  jxj  jxj  jyj: ! dengan j!j  2 1 . Perhitungan c Sahid (2004 – 2012) 1.2 Penyajian Bilangan 19 bilangan-bilangan biner a b ( ) 25 ( ) 67 d ( ) 435 ( ) 2137 Gunakan fungsi MATLAB dec2bin untuk mengecek hasil perhitungan Anda! 6. Konversikan pecahan-pecahan desimal di bawah ini ke dalam pecahan-pecahan biner berbentuk 0:b1 b2 :::bndua a ( ) b 7 ( ) 16 13 d 23 ( ) 16 ( ) 32 75 128 Cobalah Anda gunakan fungsi MATLAB dec2bin untuk mengubah pecahan-pecahan desimal tersebut ke dalam pecahan-pecahan biner! 7. Gunakan algoritma yang dijelaskan pada persamaan (1.2) untuk menunjukkan bahwa a ( ) ( ) 1 10 1 7 : b = 0 0001100110011 dua : ( ) 1 3 : = 0 010101010101 dua = 0 001001001001 dua Tuliskan fungsi MATLAB dec2binp, yang mengimplementasikan algoritma yang dijelaskan pada persamaan (1.2), untuk mengubah pecahan desimal ke pecahan biner. Gunakan fungsi tersebut untuk mengerjakan soal-soal di atas! 8. Dengan mengubah pecahan biner ke dalam pecahan desimal, hitunglah galat hampiran-hampiran di bawah ini. a ( ) ( ) 1  :  : 10 1 7 b 0 00011dua ( ) 1 3  : 0 010101dua 0 001001dua 9. Misalkan x, 0  x  1, ditulis dalam bentuk biner, x = 0:b b b :::dua : 1 2 3 Jelaskan makna geometris koefisien-koefisien b1 , b2 , b3 , ...! 10. Samakah bilangan-bilangan biner 1:0000:::dua dan 0:111:::dua ? Jelaskan! Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 – 2012) 1.3 Galat Hampiran 21  = 3:1415926536 + ga...
View Full Document

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture