1. Conceptos bu00e1sicos y clasificaciu00f3n.pdf - 3 1...

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Unformatted text preview: 3 1. Conceptos básicos y clasicación de las ecuaciones diferenciales Cuando se plantean en términos matemáticos muchos problemas importantes y signicativos de la ingeniería, las ciencias físicas y las ciencias sociales, se requiere determinar una ecuación que contiene una ó más derivadas de la función desconocida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales (E.D.) Ejemplo 1.1. Segunda Ley de Newton   d2 u(t) du(t) m = F t, u(t), dt2 dt donde u(t) es la posición de una partícula sobre la cual actúa una fuerza una función del tiempo t, la posición u(t) y la velocidad F, que puede ser du(t) . dt Denición 1.2. (Clasicación por Tipo) Una clasicación más evidente se basa en el hecho de si la función desconocida depende de una sola variable independiente o de varias variables independientes. i) Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): En la ecuación diferencial sólo aparecen derivadas ordinarias, es decir, sólo aparecen derivadas respecto a una sola variable independiente. ii) Ecuación Diferencial Parciales (EDP): En la ecuación diferencial aparecen de- rivadas parciales, esto es, aparecen derivadas parciales respecto a distintas variables independientes. Ejemplo 1.3. 1. y 0 + 5y = ex ED Ordinaria 2. d3 y dy − + 6y = 0 3 dx dx 3. y 00 + cos(x)y = tan x 4. ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + =0 ∂x2 ∂y 2 5. dy(t) dx(t) + = 2x(t) + y(t) dt dt 6. ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) = −2 2 2 ∂x ∂t ∂t 7. ∂u(x, y) ∂v(x, y) =− ∂y ∂x ED Ordinaria ED Ordinaria ED Parcial ED Ordinaria ED Parcial ED Parcial 3 4 Denición 1.4. (Clasicación según el orden) El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en ella, sin importar si es ordinaria o parcial. De manera general, la ecuación   F x, u(x), u0 (x), u00 (x), . . . , u(n) (x) = 0 es una EDO de Ejemplo 1.5. 2. 3. n-ésimo 1. orden. y 0 + 5y = ex EDO de primer orden d3 y dy + 6y = 0 EDO de tercer orden − 3 dx dx  3 d2 y dy − 4y = ex EDO de segundo orden + 6 dx2 dx 4. ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + =0 ∂x2 ∂y 2 5. dy(t) dx(t) + = 2x(t) + y(t) dt dt 6. ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = −2 2 2 ∂x ∂t ∂t 7. ∂u(x, y) ∂v(x, y) =− ∂y ∂x EDP de segundo orden EDO de primer orden EDP de segundo orden EDP de primer orden Denición 1.6. (Clasicación por linealidad) Se dice que una ecuación diferencial ordinaria  F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 es lineal si F es una función lineal en las variables una ecuación diferencial de grado 1 en sólo depende de x. y y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) . Es decir, si se trata de y en todas sus derivadas, además cada coeciente Se aplica una dención similar para EDP's. Por tanto, la ED ordinaria general de orden n es an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x) Una ecuación que no es de la forma (1) es Ejemplo 1.7. 2. 3. 1. no lineal. (1 − x)y 00 − 4xy 0 + 5y = cos x d3 y dy − + 6y = 0 EDO 3 dx dx  3 d2 y dy +6 − 4y = ex 2 dx dx lineal EDO no lineal 4 EDO lineal (1) 5 dy + 2y = x2 + 1 dx 4. y 5. (1 − y 2 ) + x 6. ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) = −2 2 2 ∂x ∂t ∂t 7. ∂u(x, y) ∂v(x, y) =− ∂y ∂x dy =0 dx EDO lineal EDO no lineal EDP lineal EDP lineal Denición 1.8. (Sistemas de ecuaciones diferenciales) Otra clasicación de las ED depende del número de funciones desconocidas que intervienen. Si hay que determinar una sola función, entonces basta con una sola ecuación. Sin embargo, si existen dos o más funciones desconocidas, entonces se requiere un sistema de ecuaciones. Ejemplo 1.9. 2. 3. 1. dT = K(T − Tm ) dt dH dt = aH − αHP Ley de enfriamiento de Newton Sistema Depredador-Presa dP = −cP + γHP dt 2 d x dy −t dt2 + dt + 3x = 15e 2 d y − 4 dx + 3y = 15t dt2 dt Denición 1.10. (Solución) Una solución de la ecuación diferencial ordinaria y (n) = f x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) sobre el intervalo α < x < β, es una función Y = φ(x)  tal que existen φ0 , φ00 , . . . , φ(n) y satisface   φ(n) (x) = f x, φ(x), φ0 (x), φ00 (x), . . . , φ(n−1) (x) para todo Los x en α < x < β. tipos de soluciones que hay son 1. Explícitas: La variable dependiente y independiente 2. Implícitas: x se expresa tan sólo en términos de la variable y constantes. Se trata de una relación G(x, y) = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones elementales. Son soluciones todas las 5 y(x) que cumplen G(x, y) = 0. 6 Una ecuación diferencial puede tener una cantidad innita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros. Se dice que la familia n-paramétrica G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0 es la solución general de una ecuación diferencial de orden n si toda solución de esa ecuación se puede obtener partiendo de esa familia. Cada vez que se asignan valores a los parámetros se tiene una Ejemplo 1.11. solución particular. y1 (x) = cos x y y2 (x) = sen x son soluciones particulares 00 diferencial y + y = 0. 1. Las funciones y explícitas de la ecuación = x2 ln x es una solución particular y explícita de la ecuación diferencial x y − 3xy + 4y = 0, para x > 0. 2. La función φ(x) 2 00 0 y(t) = c1 et + c2 tet − tet sen t − 2et cos t 00 0 t ecuación diferencial y − 2y + y = te sen t. 3. La familia de funciones y explícita de la 4. La función diferencial 2y 2 ln y − x2 = 0 (x2 + y 2 )y 0 = xy . 5. La familia de funciones es una solución general es una solución particular e implícita de la ecuación x + y = tan−1 (y) + C , C una constante arbitraria; es una 2 2 0 solución general e implícita de la ecuación diferencial 1 + y + y y = 0. Denición 1.12. Se denomina con problema de valor inicial (P.V.I) al problema  y (n) = f x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) , que se debe resolver sujeto a las condiciones y 0 (x0 ) = y10 , y 00 (x0 ) = y200 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 De otro modo,  donde Nota.  y (n) = f x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y10 , y 00 (x0 ) = y200 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 x0 , y0 , y1 , y2 , . . . , yn−1 son constantes reales llamadas condiciones iniciales. La interpretación geométrica del PVI es que de todas las soluciones de la ecuación (x0 , y0 ). 3x2 y + y 2 0 y = 3 2. 2x + 3xy y(1) = −2 diferencial, se busca la curva que pasa por el punto Ejemplo 1.13. 1. 1 1 + x2 y(0) = 0, y 0 (0) = 1 y 00 + y = 6 ...
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