Daltra parte questo risultato era anche ricavabile

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Unformatted text preview: ovviamente l’ingresso è vIN(t). Allora, affinché lo stato iniziale vC(τ) sia di equilibrio, deve essere nulla quella derivata temporale, per cui deve risultare v C (τ ) = VIN ( t ) Deduciamo quindi che, per avere una tensione costante sul condensatore a partire dall’istante iniziale τ (ossia per avere un movimento costante del sistema), è necessario applicare in ingresso una tensione esattamente pari alla tensione iniziale sul condensatore. D’altra parte, questo risultato era anche ricavabile osservando subito la rete elettrica: R1 + + R2 vIN y C - - Si nota infatti che, se la tensione in ingresso è pari alla tensione iniziale sul condensatore, per la LKT non ci può essere caduta di tensione sulle due resistenze, per cui la tensione sul condensatore è pari a quella in ingresso, che, a sua volta, è costante e pari alla tensione iniziale sul condensatore. In definitiva, quindi, se noi fissiamo un istante iniziale τ, uno stato iniziale vC(τ), avremo un movimento costante del sistema se e solo se applichiamo un ingresso costante nel tempo e pari a vC(τ). 5 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 Per il 2° esempio la cosa è analoga, per cui passiamo ora al terzo esempio, quello della manodopera nello stabilimento: in questo caso, la relazione cui possiamo fare riferimento è x ( t + 1) = αx ( t ) + u ( t ) dove x(t) è lo stato del sistema (che rappresenta il numero di dipendenti all’anno t), mentre u(t) è l’ingresso (che rappresenta il numero di assunzioni all’anno t). Ci chiediamo, allora, se, fissati un istante iniziale τ e il corrispondente stato iniziale x = x (τ ) , è possibile che x(τ) sia uno stato di equilibrio del sistema. Il procedimento è abbastanza analogo al caso precedente: affinché x sia uno stato di equilibrio, esso deve essere lo stesso all’anno t+1 come all’anno t, per cui deve risultare x = αx + u ( t ) Da qui si ricava che lo stato di equilibrio è x= u (t ) 1− α D’altra parte, era intuibile che fosse così: infatti, il termine (1-α) rappresenta il numero di abbandoni all’anno t e quindi, perché lo stato risulti costante, ossia perché il numero di dipendenti rimanga costante, è necessario assumere tanti dipendenti quanti sono quelli che hanno abbandonato. Vediamo infine il 4° esempio. Il sistema considerato in questo esempio ha solo 4 stati ed è evidente che ciascuno di essi può essere uno stato di equilibrio: infatti, osservando il grafo di transizione u0 u1 X4 u1 u0 X1 u0 u1 X2 u1 X3 u0 è chiaro che, ad esempio, partendo dallo stato X4, il sistema rimane in tale stato se l’ingresso applicato è costante e uguale a u0; stesso discorso per lo stato X2, mentre se si parte da X1 o da X3, il sistema rimane in tali stati se l’ingresso è identicamente uguale a u1. Questo esempio è anzi molto importante in quanto mostra un criterio immediato per stabilire il numero di stati di equilibrio di un sistema: Teorema - Se è possibile associare, al sistema in esame, un grafo di transizione, il numero di stati di equilibrio del sistema è pari al numero di “anelli” che partono e terminano nello stesso stato 6 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” Tutte queste considerazioni consentono di fornire una definizione generale di stato di equilibrio per un sistema: Def. Uno stato x = x (τ ) è uno “stato di equilibrio” per il sistema se e solo se esiste un ingresso u(•) ∈Ω tale che x = ϕ( t , τ, x , u(•)) ∀t ≥ τ A questo punto, è bene osservare che la definizione di “stato di equilibrio” appena fornita è quella cosiddetta di “stato di equilibrio in tempo infinito”, in quanto essa richiede che lo stato del sistema rimanga costante per TUTTI gli istanti t successivi all’istante iniziale fissato τ. In effetti, esiste anche una definizione, peraltro del tutto analoga, che prevede la costanza dello stato per ogni sottointervallo di lunghezza finita dell’insieme dei tempi T: x = x (τ ) è uno “stato di equilibrio in tempo finito” t1 per il sistema se e solo se, per ogni ∈ T , esiste un ingresso t2 u(•) ∈Ω (in generale dipendente da t1 e t2) tale che Def. Uno stato x = ϕ( t , τ, x , u(•)) ∀t ∈[ t 1 , t 2 ] ∩ T E’ chiaro che gli stati che sono di equilibrio in tempo infinito, lo sono anche in tempo fini...
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This note was uploaded on 11/05/2012 for the course ECONOMICS CA taught by Professor Stocchetti during the Spring '10 term at Università Ca' Foscari.

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