Due stati t x u u t t t

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Unformatted text preview: guente proprietà: η(ϕ(t , τ, x ' , u (•)), u ( t ), t ) = η(ϕ(t , τ, x ' ' , u (• )), u ( t ), t ) ∀t ≥ τ Questa proprietà dice in pratica che, se, all’istante iniziale τ, il sistema si trova nello stato x’ o nello stato x’’, in un qualsiasi istante t≥τ il sistema, in corrispondenza di un certo ingresso u(•) , avrà lo stesso valore dell’uscita. Detto in altre parole, la proprietà dice che i due stati x’ e x’’, sotto l’applicazione dello stesso ingresso u(•) , producono lo stesso movimento di uscita. E’ chiaro che, quando accade una cosa del genere, la conoscenza dell’ingresso e dell’uscita non è in alcun modo sufficiente a farci individuare lo stato di partenza: tale stato potrebbe infatti essere x’ ma anche x’’. Le cose non sono evidentemente migliori nel caso in cui questa proprietà non è specifica per un particolare ingresso u(•) , ma vale per qualsiasi ingresso applicato al sistema: in questo caso, si dice che i due stati x’ e x’’ sono “indistinguibili all’istante τ“. La definizione formale è dunque la seguente: x' ∈ X si dicono “indistinguibili all’istante τ ” se e x' ' solo se, per tutte le funzioni di ingresso u(•) ∈Ω , risulta che Def. Due stati ( )( η ϕ( t , τ, x' , u(•)) , u ( t ), t = η ϕ( t , τ, x ' ' , u(•)) , u ( t ), t ) ∀t ≥ τ Nel caso in cui un sistema, fissato l’istante τ, non abbia stati indistinguibili in tale istante (il che significa, in termini concreti, che l’ingresso non ha una influenza ambigua sullo stato), si dice che il sistema è in “forma ridotta all’istante τ“: quindi, un sistema in forma ridotta all’istante τ è tale che non esista alcuna coppia di stati (x’,x’’), diversi tra loro, che risulti indistinguibile all’istante τ. Se, poi, questa proprietà vale per qualsiasi istante τ, allora si dice semplicemente che il sistema è “in forma ridotta”. 11 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 Interconnessione di sistemi INTRODUZIONE Supponiamo di avere due diversi sistemi S1 ed S2 definiti nel modo seguente: S 1 = T1 , U 1 , Ω 1 , X 1 , Y1 , Γ1 , ϕ 1 , η 1 S 2 = T2 , U 2 , Ω 2 , X 2 , Y2 , Γ2 , ϕ 2 , η 2 E’ possibile “collegare” (o “connettere”) questi due sistemi, in modi diversi che vedremo, in modo da formare un unico sistema complessivo S. Quando si fa una cosa del genere, si dice che i due sistemi sono “interconnessi” per formare un unico sistema ed è sempre opportuno individuare le caratteristiche del sistema complessivo: ovviamente, tali caratteristiche dipendono dalle caratteristiche dei due sistemi di partenza, che prendono adesso il nome di “sottosistemi” (in generale, un “sottosistema” è un sistema che costituisce una delle parti di un sistema più complesso). Naturalmente, assegnati i due sottosistemi dinamici S1 ed S2 e fissate le “leggi di interconnessione”, ossia fissato il modo con cui connetterli, non è detto che il sistema complessivo risultante sia ancora un sistema dinamico. Questo problema è estremamente delicato ed è oggi risolto soltanto per classi molto particolari di sistemi dinamici (come quella dei “sistemi lineari” che saranno descritti in seguito). Quindi, anziché dare indicazioni generali sulla interconnessione dei sistemi, intendiamo passare brevemente in rassegna quelle connessioni che potrebbero essere chiamate “connessioni elementari” di sistemi. INTERCONNESSIONE IN PARALLELO Per definizione, noi diremo che due sistemi S1 ed S2 sono collegati parallelo quando sono sottoposti allo stesso ingresso. Possiamo perciò schematizzare questo tipo di collegamento nel modo seguente: in S S1 y1 u S2 y2 La prima cosa che si osserva in questo collegamento è che esso, mentre pone un preciso vincolo per l’ingresso, che deve essere lo stesso per i due sistemi, non pone invece alcun vincolo per l’uscita: in altre parole, come uscita del sistema complessivo noi possiamo prendere qualsiasi cosa: possiamo prendere le coppie (y1,y2), ma possiamo anche prendere i valori y1+y2 oppure anche solo y1 o y2 e così via con tutte le altre infinite possibilità. 12 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” Come detto prima, è importante individuare quali sono le caratteristiche del sistema complessivo che abbiamo ottenuto. Per prima cosa dobbiamo definire l’insieme dei tempi...
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