Intanto cos come abbiamo definito una funzione

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Unformatted text preview: to, per cui possiamo schematicamente suddividere l’insieme di stato X del sistema nel modo seguente: insieme di stato X insieme degli stati di equilibrio in tempo infinito insieme degli stati di equilibrio in tempo finito FUNZIONE DI “MOVIMENTO DI USCITA” E U SCITE DI EQUILIBRIO Il “movimento” di un sistema può essere espresso sia in termini di evoluzione dello stato del sistema, come abbiamo fatto nel paragrafo precedente, sia anche in termini di evoluzione dell’uscita del sistema. Di conseguenza, così come, nel paragrafo precedente, ci siamo occupati degli stati di equilibrio, vogliamo adesso occuparci delle cosiddette “uscite di equilibrio”. Intanto, così come abbiamo definito una “funzione movimento” relativa agli stati, possiamo definire anche una funzione movimento relativa alle uscite: supponiamo di fissare un istante t e 7 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 supponiamo di conoscere, in tale istante, lo stato x(t) del sistema ed il valore u(t) dell’ingresso; sappiamo allora che possiamo univocamente ricavare il valore y(t) dell’uscita all’istante t usando la funzione di uscita η: η( x (t ), u (t ), t) = y (t ) Questa funzione, i cui valori sono quelli dell’insieme Y (che è l’insieme dei valori ammissibili per l’uscita) dipende evidentemente dai tre argomenti x(t), u(t) e t; se, però, noi fissiamo x(t) e u(t), essa risulta essere funzione solo del tempo: η : T → Y A questa funzione si dà il nome di “funzione di movimento di uscita”. E’ bene sottolineare che quando si parla solo di “funzione movimento”, ci si riferisce agli stati (cioè quindi al “movimento di stato”), mentre invece, quando si parla di “funzione di movimenti di uscita”, ci si riferisce alla funzione appena definita. Una volta introdotta questa funzione, viene ovvio chiedersi se esistono dei “particolari” movimenti di uscita, per esempio dei movimenti costanti. In particolare, fissato il valore dell’uscita in un certo istante iniziale τ, è possibile che tale valore rimanga costante nel tempo nonostante l’applicazione di un ingresso? Se questa condizione è verificata, noi diremo che quel valore dell’uscita è una “uscita di equilibrio”. Per dare una definizione più formale, possiamo procedere così come abbiamo fatto per gli stati di equilibrio: Def. Un valore y = y (τ ) è una “uscita di equilibrio” per il sistema se e solo se, quale che sia l’istante iniziale τ, esiste uno stato iniziale x = x (τ ) ed esiste ingresso u(•) ∈Ω tali che ( y = η ϕ( t , τ, x , u(•)) , u (t ), t ) ∀t ≥ τ Si nota subito la differenza tra questa definizione e quella di “stato di equilibrio”: in questo caso, infatti, la condizione perché y sia una uscita di equilibrio richiede l’esistenza SIA di un particolare ingresso SIA anche di un particolare stato. N.B. Anche per le uscite, è possibile fare la distinzione tra “equilibrio in tempo finito” ed “equilibrio in tempo infinito”. La definizione data poco fa è evidentemente quella per l’equilibrio in tempo infinito. E’ abbastanza ovvio chiedersi anche se possa esistere un legame tra stati di equilibrio e uscita di equilibrio: per esempio, ci si può chiedere se ad uno stato di equilibrio corrisponda sempre o meno una uscita di equilibrio e viceversa. Sicuramente, la prima implicazione è verificata quando la funzione movimento di uscita dipende esclusivamente dallo stato x(t) e non dipende né dal tempo né dall’ingresso: in questo caso, risulta infatti η( x ( t )) = y (t ) ed è quindi ovvio che, se lo stato x(t) è di equilibrio, ossia non cambia nel tempo, anche l’uscita rimane sempre la stessa. Non è invece sempre vero il contrario, come sarà chiarito nell’esempio che sarà proposto tra un attimo. 8 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” Possiamo perciò affermare che a stati di equilibrio corrispondono sempre uscite di equilibrio SOLO quando la funzione di movimento di uscita dipende esclusivamente dallo stato, mentre invece non vale l’implicazione inversa; se poi la funzione di movimento di uscita dipende anche dall’ingresso e magari dal tempo, allora nessuna delle due implicazioni è necessariamente verificata. Esempio Consideriamo un sistema che può essere rappresentato mediante il seguente gr...
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