Luscita del sistema rappresentata da y1t 17 autore

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Unformatted text preview: di importanti osservazioni: • intanto, lo schema appena disegnato e descritto non evidenzia perfettamente quale sia l’ingresso e quale l’uscita del sistema complessivo: il motivo è che come ingresso può essere presa una qualsiasi composizione delle variabili v1(t) e v2(t) e, allo stesso modo, come uscita può essere presa una qualsiasi composizione delle variabili y1(t) e y2(t); 16 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” • in secondo luogo, è bene sottolineare che i legami rappresentati dalle funzioni Ψ1 e Ψ2 sono legami algebrici e non legami integrali: u 1 (t ) = Ψ1 [ v 1 (t ), y 2 (t ), t] u 2 (t ) = Ψ2 [ v 2 (t ), y 1 (t ), t] Vediamo adesso di individuare le caratteristiche del sistema complessivo. Per quanto riguarda l’insieme T dei tempi, è chiaro che deve essere lo stesso dei due sistemi, per cui diciamo ancora una volta che T = T1 = T2 Per quanto riguarda, invece, i 4 insiemi U,Ω ,Y e Γ, è chiaro che essi dipendono dal modo con cui noi definiamo l’ingresso e l’uscita del sistema, per cui non possiamo fornire un principio generale. Infine, le funzioni di transizione di stato e di uscita η dipendono dai vincoli di interconnessione determinati dalle funzioni Ψ1 e Ψ2, per cui anche qui il criterio è relativo a ciascun caso. Facciamo infine osservare che può capitare che, interconnettendo due sistemi dinamici in retroazione, il sistema complessivo che ne risulta diventi un sistema statico. Esempio Tanto per chiarire le idee su quale potrebbe essere un possibile collegamento in retroazione tra due sistemi, vediamo un semplice e abbastanza frequente esempio: v1 + u1 y2 S1 S2 y1 u2 In questo caso, l’ingresso è una certa funzione v1(t) che va in ingresso al sistema S1; l’uscita prodotta da questo sottosistema va direttamente in ingresso al sottosistema S1, il quale produce a sua volta una uscita y2(t); questa uscita viene sommata all’ingresso v1(t) e il risultato della somma va in ingresso ad S1, ripetendo il ciclo. L’uscita del sistema è rappresentata da y1(t). 17 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 Classificazione dei sistemi INTRODUZIONE Fino ad ora abbiamo esaminato una serie di caratteristiche generali dei sistemi dinamici. Al fine di studiare più a fondo i sistemi, è opportuno farne una ”classificazione”, in modo da poter estendere le nostre considerazioni non a singoli sistemi, ma a singole classi di sistemi, ciascuno comprendente sistemi accomunati da una qualche caratteristica comune. SISTEMI TEMPO-INVARIANTI Una prima grande classificazione dei sistemi si può fare sulla base di come è fatto l’insieme dei tempi T. In particolare, sussiste la seguente definizione: Def. Un sistema si dice “tempo-invariante” quando esso non modifica le proprie caratteristiche al passare del tempo In altre parole, questo significa che il sistema “risponde” sempre nello stesso modo, ossia ha sempre la stessa evoluzione, a prescindere dall’istante in cui noi applichiamo l’ingresso; detto ancora in altri termini, l’evoluzione del sistema non dipende dall’istante in cui viene applicato l’ingresso, ma solo dalla natura di tale ingresso: se noi applichiamo un ingresso u(•) all’istante τ, il sistema risponde con una certa uscita y(•) ; se, invece, noi applichiamo lo stesso ingresso in un altro istante t diverso da τ, ossia trasliamo l’ingresso, il sistema risponde con la stessa uscita, anch’essa traslata ovviamente della stessa quantità. Un esempio immediato di sistema tempo-invariante è una rete elettrica che contenga solo elementi tempo-invarianti, come quella da noi esaminata più volte: traslando l’istante di applicazione dell’ingresso, noi otteniamo semplicemente una identica traslazione temporale dell’uscita, ma la natura di questa uscita è esattamente la stessa di quella che si ottiene quando l’ingresso non è traslato. Lo stesso discorso vale ovviamente anche per il sistema meccanico: applicando la forza in ingresso in un certo istante τ, noi avremo un certo movimento della massa; applicando la stessa forza in un altro istante t, noi avremo lo stesso movimento, ma, ovviamente, a partire dall’istante t. Diverso è il discorso, invece, sul terzo esempio da noi trattato, quello del costo della manodopera in uno stabilimento: in quel caso, infatti, avevamo trovato che y ( t ) = C( t ) x ( t ) Allora, anche se x(t) (che rappresenta lo stato del sistema ed è a sua volta legato all’ingresso u) è lo stesso in due anni diversi, lo stesso non vale per C(t), che rappresenta il costo unitario annuale e che, come tale, cambia da anno ad anno. Questo, quindi, è un “sistema tempo-variante”, proprio perché modifica le proprie caratteristiche al passare del tempo. E’ invece ancora tempo-invariante il sistema dell’esempio 4, ossia l’automa: in questo caso, infatti, l’istante in cui la sequenza di ingresso non determina l’evoluzione dell’uscita, che invece è sempre la stessa se risulta essere sempre lo stesso lo stato di partenza. 18 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” Questi discorsi spiegano dunque in modo intuitivo la definizione di sistema tempo-invariante. Tuttavia, è possibile fornire questa definizione (pag. 48) anche in modo decisamente più rigoroso; in particolare noi diremo che un sistema è “tempo-invariante” se gode delle seguenti 4 proprietà fondamentali: 1. la prima proprietà è che l’insieme dei tempi T deve essere un insieme additivo: ciò significa che, per tale, insieme, deve essere definita l’operazione di somma, ossia, in termini pratici, che, presi due qualsiasi elementi di T, la loro somma è a sua volta un elemento di T; 2. la seconda proprietà è che l’insieme delle funzioni di ingresso Ω deve essere chiuso rispetto alla operazione di traslazione nel tempo: ciò significa che, fissata una funzione di ingresso u(•) ∈Ω e fissato un istante s∈T, l’ingresso u S (•) (corrispondente a u(•) traslato nel tempo di una quantità s) deve a sua volta appartenere a Ω , ossia deve essere un ingresso ammissibile per il sistema; 3. la terza proprietà dice che, fissato lo stesso stato di partenza, ad un ingresso traslato nel tempo deve corrispondere una uscita traslata di tempo: in termini formali, possiamo scrivere che ( ϕ ( t , τ , x , u(•)) = ϕ t + s, τ + s, x , u S (•) 4. infine, la quarta proprietà dice che la indipendente dal tempo. ) ∀t, τ , s ∈ T funzione di ∀u(•) ∈ Ω uscita η deve essere Ci soffermiamo un attimo su questa 4° proprietà: noi sappiamo che la funzione di uscita è una funzione del tipo η : X × U× T → Y ossia una funzione, a valori in Y, avente come argomenti lo stato del sistema all’istante t, l’ingresso del sistema all’istante t e l’istante t stesso. Allora richiedere che essa sia indipendente dal tempo equivale a richiedere che diventi una funzione del tipo η : X ×U → Y ossia una funzione a due soli argomenti. Ci ricordiamo, inoltre, che abbiamo definito “proprio” un sistema in cui η non dipende dal valore istantaneo dell’ingresso; deduciamo, quindi, che, per un sistema proprio e tempo-invariante, la funzione di uscita è η : X → Y ossia una funzione che, noto il valore istantaneo dello stato, fornisce immediatamente il valore istantaneo dell’uscita. E’ abbastanza evidente che rientra in questa classe il sistema del 4° esempio, ossia l’automa: infatti, in quel caso, noto lo stato del sistema in un certo istante, è subito univocamente nota l’uscita in quello stesso istante. 19 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 SISTEMI TEMPO-CONTINUI Sempre sulla base dell’insieme dei tempi è possibile fare una ulteriore classificazione dei sistemi: Def. Un sistema si dice “tempo-continuo” (o anche “continuo nel tempo”) se il suo insieme dei tempi coincide con l’insieme dei numeri reali, mentre invece diremo che è un sistema “tempodiscreto” (o anche “discreto nel tempo”) se il suo insieme dei tempi coincide con l’insieme dei numeri naturali (sia positivi che negativi) Ovviamente, nonostante anche la classificazione di tempo-invarianza si basi sull’insieme dei tempi, è ovvio che si tratti di due classificazioni diverse: esistono sistemi tempo-invarianti tempocontinui (come ad esempio la rete elettrica o il sistema meccanico), ma anche sistemi tempoinvarianti tempo-discreti (come l’automa), come anche esistono sistemi tempo-varianti tempocontinui e sistemi tempo-varianti tempo-discreti (come quello del costo della manodopera in uno stabilimento). Autore: SANDRO PETRIZZELLI e-mail: sandry@iol.it sito personale: http://users.iol.it/sandry succursale: http://digilander.iol.it/sandry1 20 Autore: Sandro Petrizzelli...
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