Nonostante questo per non ci sono stati di equilibrio

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Unformatted text preview: afo di transizione: u1 Y0(X1) u0 u1 Y0(X2) u1 u1 u0 Y1(X3) Questo grafo mostra che il sistema può avere 3 diversi stati (X1 , X2 e X3) e due sole uscite (Y0 e Y1) ed è inoltre soggetto ad un ingresso avente due possibili valori u0 e u1. Possiamo subito affermare che il sistema non presenta stati di equilibrio in quanto non ci sono anelli che partono e terminano in uno stesso stato. Al contrario, è evidente che l’uscita Y0 può essere una uscita di equilibrio: per esempio, partendo dallo stato X1, è sufficiente applicare un ingresso del tipo u 0 , u 1 , u 0 , u 1 , u 0 , u 1 , u 0 , .. perché l’uscita rimanga Y0. Oppure, partendo dallo stato X2, è sufficiente applicare un ingresso del tipo u 1 , u 0 , u 1 , u 0 , u 1 , u 0 , u 1 ,.. perché l’uscita rimanga sempre Y0. Esistono dunque, in questo caso, due combinazioni (stato, ingresso) che rendono l’uscita Y0 una uscita di equilibrio. Nonostante questo, però, non ci sono stati di equilibrio, il che conferma che si possono avere uscite di equilibrio anche in assenza di stati di equilibrio. 9 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 PROBLEMA DELLA RAGGIUNGIBILITÀ La ricerca degli stati di equilibrio e delle uscite di equilibrio non è l’unico aspetto del quale ci si preoccupa nello studio dei sistemi. Un altro aspetto rilevante è il problema della cosiddetta “raggiungibilità”: supponiamo di fissare un certo istante iniziale τ e il corrispondente stato iniziale x = x (τ ) ; fissato poi un istante finale t>τ, ci chiediamo se è possibile che il sistema, all’istante t, raggiunga uno stato finale prefissato x 1 = x ( t ) . E’ evidente che, partendo dallo stato iniziale x = x (τ ) , il sistema può raggiungere lo stato finale prefissato x 1 = x ( t ) se e solo se esiste un istante iniziale τ ed esiste un ingresso u(•) tali che x1 = ϕ ( t ,τ , x, u(•)) . Sussiste allora la seguente definizione: Def. Uno stato x 1 ∈ X si dice “raggiungibile all’istante t” se e solo se esistono un istante iniziale τ ≤ t ed una funzione di ingresso u(•) ∈Ω tali che x1 = ϕ( t , τ, x , u(•)) Sistemi connessi Questo problema della raggiungibilità può anche essere posto in altra forma: per esempio, fissati τ e x = x (τ) , ci si può chiedere quali stati x 1 = x ( t ) sono raggiungibili all’istante t. E’ chiaro che ci sono varie possibilità: • un primo caso potrebbe essere quello in cui non ci sono stati, tra quelli permessi (cioè quelli appartenenti ad X), raggiungibili a partire da x = x (τ) ; • un secondo caso può essere invece quello per cui tutti gli stati possibili (cioè tutti gli stati appartenenti ad X) sono raggiungibili a partire da x = x (τ) ; • la terza possibilità è ovviamente che ci sia solo un numero finito di stati raggiungibili a partire da x = x ( τ) . Potrebbe anche sussistere la seguente proprietà: fissati l’istante iniziale τ e lo stato iniziale x = x (τ) , fissati l’istante finale t e uno stato finale x 1 = x ( t ) , il sistema può passare da x = x (τ) a x 1 = x ( t ) quali che siano tali stati. In altre parole, può capitare che, quale che sia lo stato iniziale fissato e quale che sia lo stato finale fissato, sia sempre possibile trovare un ingresso che trasferisca lo stato del sistema da x = x (τ) a x 1 nell’istante t prefissato: in questo caso, si dice che il sistema è “connesso all’istante t”. Se, poi, questa proprietà vale per qualsiasi valore dell’istante t, allora diremo semplicemente che il sistema è “connesso”. STATI INDISTINGUIBILI Supponiamo di avere un generico sistema; supponiamo che, nell’intervallo [τ,t[, venga applicato al sistema un certo ingresso u(t) che noi siamo in grado di registrare e supponiamo che il sistema risponda, sempre nell’intervallo [τ,t[, con una certa uscita y(t) che noi siamo in grado di misurare . Quindi, le uniche informazioni a disposizione sul sistema sono l’ingresso applicato e la 10 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” corrispondente risposta. Ci chiediamo se, a partire SOLO da queste informazioni, è possibile ricavare quale fosse lo stato iniziale del sistema. Per esempio, supponiamo che esistano due diversi stati x’ e x’’ che godono della se...
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