Tsistemi_02 - Teoria dei sistemi Parte II Teoria Concetti...

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“Teoria dei sistemi” - Parte II Concetti generali sui “sistemi” Insieme degli eventi .................................................................................... 1 Funzione movimento e traiettoria ............................................................... 2 Stati di equilibrio ........................................................................................ 4 Funzione di “movimento di uscita” e uscite di equilibrio ............................ 7 Esempio ................................................................................................ 9 Problema della raggiungibilità .................................................................. 10 Sistemi connessi .................................................................................. 10 Stati indistinguibili ................................................................................... 10 Interconnessione di sistemi ............................................................................ 12 Introduzione ............................................................................................. 12 Interconnessione in parallelo .................................................................... 12 Interconnessione in cascata (o in serie) ..................................................... 14 Interconnessione in retroazione ................................................................ 16 Esempio .............................................................................................. 17 Classificazione dei sistemi ............................................................................. 18 Introduzione ............................................................................................. 18 Sistemi tempo-invarianti .......................................................................... 18 Sistemi tempo-continui ............................................................................. 20 I NSIEME DEGLI EVENTI Supponiamo di avere un generico sistema e di fissare un certo istante t di osservazione; supponiamo inoltre di conoscere lo stato x x t = ( ) del sistema in tale istante. Allora, la coppia formata dallo stato x e dall’istante t cui esso è relativo prende il nome di “ evento ” per il sistema. E’ chiaro che t e x possono variare in modo qualsiasi all’interno dei rispettivi insiemi T e X: allora, l’insieme delle possibili coppie ( 29 x t , , ossia l’insieme di tutti i possibili eventi attraverso i quali il sistema può passare, prende il nome di “ insieme degli eventi ” del sistema in esame. Consideriamo ad esempio la rete elettrica esaminata già in precedenza: R 1 R 2 C + y - + v IN -
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Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 Autore: Sandro Petrizzelli 2 In questo caso, l’insieme T dei tempi non è altro che l’insieme dei numeri reali in quanto si suppone che il tempo vari con continuità; coincide anche con l’insieme X degli stati possibili, in quanto si tratta di tutti i possibili valori della tensione ai capi del condensatore. Di conseguenza, sia T sia X possono essere rappresentate come due rette ortogonali tra di loro: T X ( 29 x t , Queste due rette individuano un piano che costituisce chiaramente l’insieme degli eventi del sistema considerato: infatti, ogni punto di tale piano corrisponde ad una coppia del tipo ( 29 x t , , ossia ad un evento possibile per il sistema. Nel caso del sistema meccanico, invece, considerando come uscita la coppia (velocità, posizione), la situazione è diversa: infatti, mentre l’insieme T dei tempi è ancora una volta l’insieme dei numeri reali, l’insieme X degli stati è l’insieme delle coppie ( 29 v z , che rappresentano la velocità e la posizione del sistema in ciascun istante; dato che sia la posizione sia la velocità possono assumere un qualsiasi valore reale, deduciamo che X coincide con 2 , per cui l’insieme degli eventi è in questo caso il seguente spazio tridimensionale: T v z v z t ( 29 t v z , , Ogni punto di questo piano rappresenta una terna ( 29 t v z , , , ossia appunto un evento possibile per il sistema. F UNZIONE MOVIMENTO E TRAIETTORIA Supponiamo sempre di avere il nostro sistema e supponiamo di fissare l’istante iniziale τ ; supponiamo inoltre di conoscere lo stato x x = ( ) t del sistema nell’istante τ e l’andamento ( 29 u dell’ingresso. Se noi fissiamo anche un istante di osservazione t, sappiamo che la funzione di transizione di stato ϕ
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