Come varia lo stato del sistema al variare del tempo

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Unformatted text preview: avente valori in X: ϕ( •, τ, x , u(•)) : T → X A questa funzione del tempo noi diamo il nome di “funzione movimento” del sistema: essa ci fornisce come varia lo stato del sistema al variare del tempo, fissati che siano l’istante iniziale, lo stato iniziale e l’andamento dell’ingresso; in altre parole, essa ci fornisce, per ciascun istante di tempo considerato, lo stato in cui si trova il sistema. E’ chiaro allora che questa funzione movimento può essere comodamente rappresentata nello spazio (bidimensionale, tridimensionale e così via) che costituisce l’insieme degli eventi. Per esempio, con riferimento al caso della rete elettrica, la funzione movimento sarà rappresentata da una curva nel piano (T,X): X ϕ ( • , τ , x , u(•)) T La curva “parte” dall’evento iniziale (τ , x (τ )) e “prosegue” descrivendo l’evoluzione temporale dello stato del sistema: fissato un istante finale t, la curva parte dall’evento (τ , x (τ )) e termina nell’evento ( t , x (t )) , descrivendo appunto il movimento del sistema . Ovviamente, l’equazione di quella retta è data dall’espressione della funzione di transizione di stato, fissati che siano l’istante iniziale τ, lo stato iniziale x e l’ingresso. In modo analogo, con riferimento al sistema meccanico, la funzione movimento sarà una curva nel piano (T,v,z): v ϕ ( •, τ , x , u(•)) z T Si tratta quindi sempre di una curva nello spazio che individua l’insieme degli eventi del sistema considerato. Prende invece il nome di “traiettoria” del sistema la proiezione della curva della funzione movimento sui piani non dipendenti dal tempo. Per esempio, nel caso della rete elettrica, si tratterà della proiezione di ϕ ( •, τ , x , u(•)) sull’asse X: 3 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 X ϕ ( • , τ , x , u(•)) T Nel caso, invece, del sistema meccanico, la traiettoria del sistema sarà la proiezione della curva di ϕ ( •, τ , x , u(•)) sul piano (v,z): v z T Possiamo dunque dire che data la funzione movimento del sistema, noi otteniamo la traiettoria del sistema svincolandoci dal tempo. In termini formali, possiamo scrivere che la traiettoria del sistema è costituita da tutti i punti del seguente insieme: {ϕ(t, τ, x, u (•)) t ≥ τ} Facciamo osservare dunque che la traiettoria non racchiude tutti i possibili stati del sistema, ma solo gli stati che il sistema effettivamente raggiunge nel suo movimento. Per esempio, nel caso della rete elettrica, abbiamo visto che la traiettoria è solo un segmento giacente sull’asse degli stati X: mentre l’asse, nella sua totalità, rappresenta tutti i possibili stati del sistema, la traiettoria (che è rappresentata da un segmento su tale asse) indica solo quelli che vengono effettivamente raggiunti. STATI DI EQUILIBRIO Il concetto di “movimento del sistema” ci consente di introdurre un altro concetto importante, che è quello dei cosiddetti “stati di equilibrio”: infatti, spesso è utile chiedersi, dato il sistema in esame, se esistono dei movimenti “particolari” di questo sistema; per esempio, è utile chiedersi se esiste un “movimento costante” del sistema, ossia se, fissato un istante iniziale τ, fissato il corrispondente stato iniziale x = x (τ ) e fissato l’andamento dell’ingresso, è possibile che il sistema permanga in x al passare del tempo. 4 Autore: Sandro Petrizzelli Concetti generali sui “sistemi” In termini formali, possiamo dare la seguente definizione generale: Def. Il movimento x(t) = ϕ(t , τ, x , u (•)) del sistema, fissate le condizioni iniziali τ e x = x (τ ) e fissato l’andamento dell’ingresso, è costante se x = ϕ(t , τ, x , u (•)) ∀t ≥ τ ossia se lo stato del sistema non cambia nell’intervallo [τ,t[ nonostante l’applicazione dell’ingresso. Se è soddisfatta questa condizione, noi diremo che lo stato x è uno “stato di equilibrio” del sistema: il motivo del termine “equilibrio” deriva appunto dal fatto che questo stato non cambia al passare del tempo. Proviamo, ad esempio, a vedere se, nei 4 sistemi esaminati in precedenza, ci sono o meno stati di equilibrio. Cominciamo dalla rete elettrica: in questo caso, parlare di stato equilibrio equivale a parlare di una tensione sul condensatore che rimane costante nel tempo. Quando può accadere questo? Supponiamo di fissare un certo istante iniziale τ e un certo stato iniziale vC(τ): sappiamo che l’evoluzione di vC(t) è regolata, in ogni istante, dall’equazione differenziale dv C ( t ) = −αv C ( t ) + αv IN ( t ) dt dove...
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This note was uploaded on 11/05/2012 for the course ECONOMICS CA taught by Professor Stocchetti during the Spring '10 term at Università Ca' Foscari.

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