Nuovamente la funzione di transizione di stato del

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Unformatted text preview: lori ammissibili per l’uscita) e Γ (insieme delle funzioni di uscita ammissibili) è identico a quello per l’ingresso, salvo a riferirlo al sottosistema 2: deve cioè essere Y = Y2 Γ = Γ2 Restano da individuare la funzione di transizione di stato ϕ (che ci fornisce lo stato del sistema ad ogni istante) e la funzione di uscita η (che ci fornisce l’uscita del sistema ad ogni istante). Cominciamo dalla funzione di transizione di stato: essa, fissati l’istante iniziale τ e l’istante finale t, fissato lo stato iniziale x = x(τ ) ∈ X e fissato l’andamento temporale dell’ingresso u(•) = u 1 (•) , è in grado di determinare univocamente lo stato finale x(t) del sistema S; dobbiamo perciò trovare una funzione che abbia come unici argomenti t , τ , x , u 1 (•) . Avendo noi detto prima che X = X 1 × X 2 , è chiaro che la funzione di transizione di stato sarà data da due funzioni, una che fornisce lo stato finale del sottosistema S1 e l’altra che fornisce lo stato finale del sottosistema S2: possiamo perciò scrivere che ϕ(t , τ, x, u1 (•)) = [ϕ1 (t , τ, x1 , u 1 (•)), ϕ 2 (t , τ, x 2 , u 2 (• ))] dove chiaramente x 1 e x 2 sono gli istanti iniziali dei due sottosistemi. Considerando che l’ingresso al sistema 2 l’uscita dal sistema 1, questa relazione equivale anche a [ ϕ ( t , τ , x , u 1 (•)) = ϕ 1 ( t , τ , x 1 , u 1 (•)) , ϕ 2 ( t , τ , x 2 , y 1 (•)) Inoltre, l’uscita dal sistema 1 può essere ricavata tramite la funzione di uscita del sistema 1, per cui possiamo ancora scrivere che ϕ(t , τ, x , u 1 (•)) = [ϕ1 (t , τ, x 1 , u1 (•)), ϕ 2 (t , τ, x 2 , η1 (x 1 ( t ), u 1 (• ), t ))] Non è ancora finita, in quanto dobbiamo esplicitare meglio il valore dello stato x1(t), che è lo stato finale del sistema 1: possiamo usare nuovamente la funzione di transizione di stato del sistema 1, per cui possiamo concludere che ϕ(t , τ, x , u 1 (•)) = [ϕ1 (t , τ, x 1 , u 1 (• )), ϕ 2 (t , τ, x 2 , η1 (ϕ1 (t , τ, x1 , u1 (• )), u1 (•), t ))] Passiamo adesso alla funzione di uscita del sistema complessivo, per la quale il discorso è chiaramente abbastanza simile: questa funzione, noti che sia il valore dello stato all’istante t, il valore dell’ingresso all’istante t ed il valore dell’istante t, fornisce il valore dell’uscita all’istante t: considerando che l’uscita del sistema coincide con l’uscita del sottosistema 2, possiamo cominciare a scrivere che η( x ( t ), u 1 (t ), t) = η 2 ( x 2 ( t ), u 2 (t ), t) Ma l’ingresso al sistema 2 coincide con l’uscita dal sistema 1, per cui questa diventa η( x ( t ), u 1 (t ), t) = η 2 ( x 2 (t ), y 1 (t ), t) 15 Autore: Sandro Petrizzelli Appunti di “TEORIA DEI SISTEMI” - Capitolo 2 In modo analogo a quanto fatto prima, l’uscita del sottosistema 1 può essere espressa mediante la funzione di uscita di tale sottosistema, per cui possiamo scrivere che η( x( t ), u 1 (t ), t) = η 2 x 2 (t ), η 1 ( x 1 (t ), u 1 ( t) , t) , t 1442443 y1 ( t ) Infine, i due stati finali x1(t) e x2(t) possono essere espressi mediante le rispettive funzioni di transizione di stato: η( x( t ), u 1 ( t ), t ) = η 2 ϕ 2 ( t , τ , x 2 , y 1 (•)) , η 1 ϕ 1 ( t , τ , x 1 , u 1 (•)) , u 1 ( t ), t , t 4 4 144 244 3 1442443 x2 ( t ) x1 ( t ) Compare nuovamente la y1(t), per cui possiamo ripetere il discorso fatto prima: in tal modo, possiamo concludere che la funzione di uscita del sistema complessivo è η(x ( t ), u 1 ( t ), t ) = η2 (ϕ 2 (t , τ, x 2 , η1 (ϕ1 (t , τ, x 1 , u 1 (•)), u 1 (t ), t )), η1 (ϕ1 (t , τ, x 1 , u 1 (•)), u 1 (t ), t ), t ) INTERCONNESSIONE IN RETROAZIONE L’ultima possibilità che analizziamo di interconnessione di due sistemi è quella cosiddetta “in retroazione”, rappresentata dallo schema seguente: v1 u1 Ψ1 y2 y1 S1 u2 S2 Ψ2 v2 Il vincolo di interconnessione è in questo caso il seguente: sulla base del valore istantaneo di una variabile esterna v1(t) e del valore istantaneo di y2(t), c’è una funzione Ψ1 che determina il valore istantaneo dell’ingresso u1(t) al sottosistema S1; questo sottosistema produce una uscita y1(t); sulla base del valore istantaneo di y1(t) e del valore istantaneo di una seconda variabile esterna v2(t), una nuova funzione Ψ2 determina il valore istantaneo dell’ingresso u2(t) per il sottosistema S2; questo sottosistema produce una uscita y2(t) e il ciclo si ripete dall’inizio. Possiamo fare, sulla base di questa descrizione, una serie...
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This note was uploaded on 11/05/2012 for the course ECONOMICS CA taught by Professor Stocchetti during the Spring '10 term at Università Ca' Foscari.

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