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Unformatted text preview: Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc. Nuestra Institución YAWAR WAYNA propone una perspectiva integral, ofreciendo una formación personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2017 se da también con el esfuerzo de los docentes a través de Material Didáctico que permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere y es: Un compromiso que va más allá de tu ingreso. Índice ARITMÉTICA Capítulo 1. Conjuntos I ........................................................................ 06 Capítulo 2. Conjuntos II ....................................................................... 14 Capítulo 3. Numeración I .................................................................... 20 Capítulo 4. Numeración II ................................................................... 30 Capítulo 5. Adición en el Conjunto Z ................................................. 38 Capítulo 6. Sustracción en el Conjunto Z .......................................... 45 Capítulo 7. Multiplicación en el Conjunto Z ..................................... 52 Capítulo 8. División en el Conjunto Z ............................................... 61 ÁLGEBRA Capítulo 1. Potenciación I .................................................................... 71 Capítulo 2. Potenciación II ................................................................... 79 Capítulo 3. Expresiones Algebraicas ................................................... 86 Capítulo 4. Términos Semejantes ....................................................... 94 Capítulo 5. Multiplicación Algebraica ................................................ 100 Capítulo 6. Productos Notables I ......................................................... 107 Capítulo 7. Productos Notables II ....................................................... 113 Capítulo 8. Ecuación de Primer Grado I ........................................... 120 GEOMETRÍA Capítulo 1. Operaciones con Segmentos .................................................... 129 Capítulo 2. Ángulos ....................................................................................... 135 Capítulo 3. Ángulos según su medida ........................................................ 141 Capítulo 4. La Bisectriz ................................................................................. 148 Capítulo 5. Ángulos según su posición y según la suma .......................... 155 Capítulo 6. Operaciones con Ángulos ......................................................... 163 Capítulo 7. Ángulos formados por dos Rectas ........................................... 170 Capítulo 8. Propiedad de los Ángulos situados entre paralelas ............... 176 Índice RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Capítulo 1. Lógica Recreativa ............................................................. 190 Capítulo 2. Habilidad Operativa ......................................................... 199 Capítulo 3. Resolución de Ecuaciones ............................................... 206 Capítulo 4. Planteo de ecuaciones ....................................................... 214 Capítulo 5. Edades ................................................................................ 222 Capítulo 6. Ordenamiento lineal, vertical y horizontal .................... 229 Capítulo 7. Inducción Matemática ..................................................... 236 Capítulo 8. Conteo de Figuras ............................................................. 243 MATEMÁTIC BÁSICA Capítulo 1. Distribuciones Numéricas ............................................... 251 Capítulo 2. Métodos Operativos I: Operaciones Inversas ................ 259 Capítulo 3. Métodos Operativos II: Falsa Suposición ...................... 266 Capítulo 4. Criptoaritmética ................................................................. 274 Capítulo 5. Fracciones: Operaciones Básicas .................................... 281 Capítulo 6. Fracciones: Representación – Situaciones Problemáticas 287 Capítulo 7. Reducción a la Unidad ..................................................... 293 Capítulo 8. Tanto por ciento ................................................................ 300 COMPENDIO DE NÚMEROS Primera Edición: Diciembre del 2016. Tiraje: 50 ejemplares. SABA- EDITORES Impreso en los talleres gráficos de la Editorial SABA. Telef. # 996013893 -#96200304 Academiayawarwayna "Un compromiso que va más allá de tu ingreso" YAWAR WAYNA Pioneros 1 Conjunto I Ejemplo: CONJUNTOS CIENCIA Elementos Determinación de conjuntos • Si llamamos « B» al conjunto de vocales, entonces: B = {a, e, i, o, u} • Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces: Z+ = {1, 2, 3, 4,...} Cardinalidad • Si llamamos «M» al conjunto de los números naturales pares menores que 12 y mayores que cero. Conjuntos numéricos M = {2, 4, 6, 8, 10} Objetivos 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS Tener la idea clara de conjunto y elementos que le pertenecen, así como los elementos de los conjuntos numéricos. 2.1 Naturales (N) N = {0; 1; 2; 3; ..} 2.2 Enteros (Z) 1. IDEA DE CONJUNTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretos o abstractos. Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, ..., etc. Sus elementos van separados con comas(,) o punto y coma (;) o bien indicando una propiedad común de ellos. 6 Z-= {-1, -2, -3, -4, -5,...} «enteros negativos». Z = Z- ∪ {0} ∪ Z+ Z+= {2; 3; 4; 5; ...} «enteros positivos». Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA 3. CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito. Aritmetica 4.2 Por Comprensión Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a los elementos de dicho conjunto. Así por ejemplo, del ejercicio anterior. Ejemplo 1: • Sea A = {a; e; i; o; u}, entonces n(A) = 5. Que se lee: El cardinal de «A» es 5. Ejemplo 2: Ejemplo: A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12} • Se lee: «A» es el conjunto cuyos elementos «x», son los valores de tal que «x» es un número natural y además es mayor que 6 pero menor que 12. • Sea C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, entonces n(C) = 7. YAWAR WAYNA Que se lee: El cardinal de «C» es 7. Ejemplo 3: • Sea W = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}, entonces n(W) = 7. RELACIONES CONJUNTISTAS Pertenencia - inclusión Objetivos Que se lee: El cardinal de «W» es 7. Ejemplo 4: • Sea A = {m, e, m, i, n} Entonces: n(A) = 4 Conjunto potencia Identificar un elemento de un conjunto. Identificar un subconjunto de un conjunto. Cuantificar o contar subconjuntos de un conjunto. Ejemplo 5: • Sea B = {4; 4; 3; 3} Entonces: n(B) = 2 4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 4.1 Por Extensión Cuando sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {7; 8; 9; 10; 11} • Se lee «A» es el conjunto cuyos elementos son 7; 8; 9; 10 y 11. Un compromiso que va más allá de tu ingreso 1. RELACIONES CONJUNTISTAS 1.1 Pertenencia Dado A = {4; 3} se dice que: 4 ∈ A 3 ∈ A 5 ∉ A ¡No lo hagas de otra forma! Elemento a conjunto 1.2 Inclusión de Conjuntos A⊂B↔∀x∈A→x∈B Se lee: «A» está incluido en «B», si y sólo si, para cualquier «x» que pertenece a «A», éste también pertenece a «B». 7 YAWAR WAYNA Pioneros ⇒ Además: «A ⊂ B» «A» está incluido en «B». «A» está contenido en «B». «A» es subconjunto de «B». ⇒ «B ⊃ A» «B» incluye a «A». «B» contiene a «A». «B» es un conjunto a conjunto superconjunto de «A». Dado: A = {4; 5}, entonces: {4} ⊂ A {5} ⊂ A {4;5} ⊂ A También: ∅ ⊂ A Donde ∅ es el conjunto vacío o nulo. 1.3 Subconjuntos de un Conjunto Ejemplo 1: • Sea A = {2; 3; 4}, indica todos sus subconjuntos. Resolución Los subconjuntos son: {2}; {3}; {4}, {2;3} {2; 4}; {3; 4}; {2; 3; 4}; ∅ Ejemplo 2: • Sea B = {a, m, a, n, d, a}, señala todos sus subconjuntos. Resolución Ejemplo 1: • Sea A = {a, b; c}, indica V(verdadero) o F (falso). {a} ∈ A b ∈ A {a; c} ⊂ A ∅ ∈ A Resolución {a} ∈ A, es falso. b ∈ A, es verdadero. {a, c} ⊂ A, es verdadero. ∅ ∈ A, es falso. Ejemplo 2: • También se definen conjuntos del tipo: A = {{2}; 2; 3}, donde los elementos distintos son {2}, 2 y el 3; pues su cardinal es n(A) = 3 y es cierto que: {2} ∈ A {{2}} ⊂ A 2 ∈ A {2} ⊂ A 3 ∈ A {3} ⊂ A ∅ ⊂A También: {{2}; 2} ⊂ A {{2}; 3} ⊂ A {2; 3} ⊂ A {{2}; 2; 3} ⊂ A Conclusión Todo elemento pertenece al conjunto. Todo grupo de elementos encerrados con llaves está incluido en el conjunto. 8 Simplificando B = {a, m, n, d} Los subconjuntos son: {a}; {m}; {n}, {d}; {a, m} {a, n};.........; {a, m, n, d}; ∅ PROPIEDAD: Si A tiene «n» elementos distintos, entonces tiene 2n subconjuntos de los cuales 2n - 1 son subconjuntos propios. Son subconjuntos propios todos los subconjunt os excepto el mismo conjunto. Ejemplo 1: • ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {x/x ∈ Z ∧ 2 ≤ x <6 }? Resolución A = {2; 3; 4; 5} n(A) = 4 luego # subconjuntos: 24 = 16 Ejemplo 2: • ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A = {a, m, a, n, d, a}? Resolución Simplificando: A = {a, m, n, d} n(A) = 4 # subconjuntos propios: 24 - 1 = 15 Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA 1) Aritmetica 4) En el gráfico: Dado: A = {5; {7}; 9; {12}} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. i) {5} ∈ A ( ) ii) {7} ∉ A ( ) iii) {9} ⊂ A ( ) iv) {5; {7}} ⊂ A ( ) a b c A B d f C e g calcula n(A) + n(B) + n (C). Rpta.: _______ 2) ¿Cuántos elementos distintos posee? A = {x2 - 1 / x ∈ Z ∧ -1 ≤ x < 5} Rpta.: _______ 5) ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? A = {e; u; c; l; i; d; e; s} B = {g; a; u; s} YAWAR WAYNA Rpta.: _______ Rpta.: _______ 3) Si: A={3x+1/x ∈ N ∧ -12 ≤ 2x ≤ 12} calcula la suma de sus elementos. 6) Si un conjunto tiene 63 subconjuntos propios, ¿cuántos elementos tiene el conjunto? Rpta.: _______ Rpta.: _______ 4) En el gráfico: 1) Dado: Z = {4; 6; {8}: {10}} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. A a b B c f i) 4 ∈ Z ( ) ii) {8} ∈ Z ( ) g iii) {{10}} ⊂ Z ( ) C iv) {4; {8}} ⊂ Z ( ) d e calcula n(A) + n(B) + n(C) Rpta.: _______ 5) ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? P = {e, x, i, t, o} Q = {v; i; s; i; o; n} 2) El cardinal de A = {x2/x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 3} es: Rpta.: _______ Rpta.: _______ 3) Calcula la suma de los elementos de cada conjunto: N = {2x + 1 / x ∈ N ∧ -8 ≤ 2x ≤ 8} 6) Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios, ¿cuántos elementos tiene el conjunto? Rpta.: _______ Rpta.: _______ Un compromiso que va más allá de tu ingreso 9 YAWAR WAYNA Pioneros PROBLEMAS PARA CLASE N°1 1 Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcular: a+b+c A= {3a + 5 ; 17 ; 4b − 3} = B {4a − b ; c} a) 7 b) 5 d) 20 1 Si los conjuntos M y N son unitarios. Calcular a+b+c M= {2a + 6 ; 16 ; 5b − 4} = N {3a − b ; c} a) 75 b) 9 d) 20 c) 11 e) 18 Resolución: Resolución: Clave: 2 Clave: 2 Dados los conjuntos unitarios, A =+ {x 7 ; 2x + 5} B =− {y 3 ; 5y − 15} Hallar el valor de «x+y» a) 5 b) 6 d) 8 c) 11 e) 24 c) 7 e) 9 Dados los conjuntos unitarios, A =+ {x 8 ; 2x + 5} B= {y − 4 ; 4y − 16} Hallar el valor de «x+y» a) 7 b) 8 d) 11 c) 10 e) 12 Resolución: Resolución: Clave: 10 Clave: Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA 3 Aritmetica Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar a2+b2 A = {a + b − 1 ; 5} B= {2a − b + 2 ; 23} a) 121 b) 111 d) 107 3 Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar a2+b2 A = {a + b + 3 ; 20} = B {3a − b ; 15} a) 60 b) 70 d) 80 c) 124 e) 96 c) 76 e) 84 Resolución: Resolución: YAWAR WAYNA Clave: Clave: 4 Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar la suma de los elementos del conjunto C, tal que: 4 Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar la suma de los elementos del conjunto C, tal que: A = {5a −1 ; 4b + 2 } A = {2a −1 ; 3b +1} B = {125 ; 64} 3 = C {x / x ∈ ∧ b ≤ x ≤ a} a) 46 b) 50 d) 80 B = {16 ; 27} = C {x 2 / x ∈ c) 100 e) 90 ∧ b ≤ x ≤ a} a) 48 b) 50 d) 54 c) 52 e) 58 Resolución: Resolución: Clave: Un compromiso que va más allá de tu ingreso Clave: 11 YAWAR WAYNA Pioneros 5 Determinar cuantos elementos tienen los conjuntos A y B sabiendo que: 5 Determinar cuantos elementos tienen los conjuntos A y B sabiendo que: a)# P(A) = 128 a)# P(A) = 32 b)# P(B) = 16 3 a) 7 y 7 b) 7 y 6 d) 7 y 12 b)# P(B) = 82 c) 6 y 5 e) 8 y 9 Resolución: a) 6 y 3 b) 5 y 4 d) 5 y 8 Resolución: Clave: 6 Del siguiente diagrama: Hallar: ( A∆C ) − ( A ∪ B ) Clave: 6 Del siguiente diagrama: Hallar ( A ∪ B ) ∩ C a) {1;2; 3} b) {8;9} c) {9} d) {1;2} e) {3; 4;9} a) {2; 4;8;9} b) {2;5;8} c) {4;8;9} d) {4;8;9;10} e) {4;9;10} Resolución: Resolución: Clave: 12 c) 5 y 6 e) 4 y 7 Clave: Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA Aritmetica 7 Dados lo conjuntos A = {2; 4;7;9} B = {2; 4;5;6;8} C= {2;6;8;10} Hallar ( A ∪ B ) ∆C 7 Dados lo conjuntos = A {x / x es un dígito y 2 ≤ x ≤ 6} B= {x ∈ / x 2 = 9} C = {x ∈ / x − 2 = 4} Hallar ( B ∪ C ) ∩ A a) {2; 4;5} b) {3; 4;5} c) {3;6} d) {2; 3; 4;5;6} e) {5; 4;9} a) {1;2; 4;7;9} b) {1;2;7} c) {4;5;7;9;10} d) {1;2;9} e) {5; 4;9;10} Resolución: Resolución: YAWAR WAYNA Clave: 8 Sean los conuntos: 8 Sean los conuntos: = A {2x / x ∈ ∧ 2 ≤ x ≤ 8} = B {2x / x ∈ ∧ 2 ≤ x ≤ 5} A ={x + 3 / x ∈ ;x ≤ 3} B = {2x − 1 / x ∈ ;x < 4} Hallar n ( A ∩ B ) + n ( A ) + n ( B ) a) 4 b) 6 d) 8 Clave: Hallar n ( A ∩ B ) + n ( A ) + n ( B ) c) 7 e) 9 Resolución: a) 10 b) 12 d) 16 c) 14 e) 18 Resolución: Clave: Clave: Sello y Nota de cumplimiento de Tarea Un compromiso que va más allá de tu ingreso 13 YAWAR WAYNA Pioneros 2 Conjunto II REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CONJUNTO a alumnos que sólo practican fútbol m + x alumnos que practican fútbol y tenis m alumnos que practican fútbol y tenis pero no gimnasia • Diagramas Lineales Ejemplo: U A = {Limeños} B = {Peruanos} C = {Argentinos} D = {Bonarenses} U = {Sudamericanos} B C A D • Diagrama de Venn - Euler A Ejemplo: B .1 .3 .5 .6 .2 .4 .7 A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6, 7} m + n + p a l u m n o s q u e p r a c t i c a n deportes m + n + p + x alumnos que practican al 2 deportes a + b + c a l u m n o s q u e p r a c t i c a n deporte n + p g i m n a s t a s q u e p r a c t i c a n deportes sólo 2 menos 1 solo sólo 2 • Diagrama de L. Carroll Ejemplo 1: Observa atentamente el siguiente ejemplo: F = {Alumnos que practican fútbol} G = {Alumnos que practican gimnasia} T = {Alumnos que practican tenis} FUTBOL (F) a GIMNASIA (G) n b m x p c TENIS (T) 14 Donde existen: Se utiliza para conjuntos que no tengan elementos comunes. A AC ELEMENTOS QUE TIENEN A Y B A LA VEZ ELEMENTOS QUE NO TIENEN A PERO SÍ B ELEMENTOS QUE TIENEN A PERO NO B ELEMENTOS QUE NO TIENEN A NI B B BC Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA Aritmetica 1) En un congreso de profesionales 20 son medicos, 12 son medicos y abogados; 23 son abogados y 30 tienen otras profesiones.¿Cuantos profesionales asistieron al congreso? 4) Sean A, B y C conjuntos ;tales que: n(A ∪ B) = 20 n(A) = 14 y n(B) = 14 Entonces hallar: n(A ∩ B) Rpta.: _______ Rpta.: _______ 2) De los 31 días del mes de mayo Juancho salió con Lola 18 días y con Tula salió 20 días. ¿Cuantos días salió Juancho con las dos? 5) De un total de 80 postulantes a las universidades San Marcos y Uni se sabe que: * 47 postularon solo a la Uni * 27 postularon solo a San Marcos ¿Cuántos postularon a la Uni y San Marcos? YAWAR WAYNA Rpta.: _______ Rpta.: _______ 3) De un grupo de 150 jóvenes se sabe que 85 gustan de ciencias y 60 gustan de letras. Si 15 jóvenes gustan de ciencias y letras, ¿cuántos jóvenes no gustan de ciencias ni de letras? 6) A una fiesta criolla asistieron 150 personas de las cuales 80 cantan; 60 bailan; 30 no cantan ni bailan ¿Cuántas personas cantan y bailan? Rpta.: _______ Rpta.: _______ 1) En Congreso de profesionales 18 son médicos; 27 son abogados ;11 son médicos y abogados; y 35 tienen otras profesiones. ¿Cuántos profesionales asistieron al Congreso? 4) Sean A; B y C conjuntos; tales que: n(A ∪ B) = 24 n(A)=16 y n(B)=12 Entonces hallar: n(A ∩ B) Rpta.: _______ Rpta.: _______ 2) De los 28 días del mes de febrero Santiago desayuno jugo de naranja18 días y jugo de piña 15 días.¿Cúantos días desayuno jugo de naranja y de piña? 5) En un vecindario donde hay 25 familias se noto que 14 familias tienen solo perros, 9 solo tienen gatos.¿Cuántas familias tienen perros y gatos? Rpta.: _______ Rpta.: _______ 3) De un grupo de 85 personas; 40 estudian; 50 trabajan ; 10 estudian y trabajan.¿Cuántos no estudian ni trabajan? 6) De un grupo de 140 personas a 80 les gusta la salsa,a 70 les gusta el Rock y a 10 no les gusta ninguno de estos dos generos.¿A cuantos les gusta ambos generos musicales? Rpta.: _______ Rpta.: _______ Un compromiso que va más allá de tu ingreso 15 YAWAR WAYNA Pioneros PROBLEMAS PARA CLASE N° 2 1 En una encuesta a 35 personas se comenta que 25 prefieren Coca Cola, 20 prefieren Inca Kola y 5 no gustan de estas gaseosas. ¿Cuántos prefieren solo Inca Cola?. a) 5 b) 10 d) 20 1 De un total de 50 personas, 3 estudian y trabajan; 13 no estudian ni trabajan y 12 estudian.¿cuantos trabajan unicamente? a) 10 b) 9 d) 25 c) 15 e) 25 c) 417 e) 20 Resolución: Resolución: Clave: 2 En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Aritmética y Biología; se obtuvieron los siguientes resultados: * 60 prefieren Aritmética; * 50 prefieren Biología; * 20 no prefiern ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos prefieren solo uno de estos cursos? a) 20 b) 30 d) 70 c) 50 e) 80 Clave: 2 De 200 alumnos que salen el recreo; 90 bebieron Inca Kola; 60 bebieron Coca cola y 60 no prefieren ninguna de estas bebidas.¿Cuántas alumnas bebieron solo de una de estas bebidas? a) 130 b) 160 d) 170 c) 210 e) 150 Resolución: Resolución: Clave: 16 Clave: Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA 3 Aritmetica En una asamblea de 70 integrantes de un club: 45 son estudiantes; 48 trabajan; 8 no trabajan ni estudian.¿Cuantos trabajan, pero no estudian? a) 31 b) 14 d) 39 3 c) 17 e) 25 Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observo que: 57 consumen mayonesa, 45 consumen ketchup y 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no ketchup? a) 15 b) 30 d) 52 Resolución: c) 42 e) 40 Resolución: YAWAR WAYNA Clave: 4 En un grupo de señoritas se observa que 40 usan aretes; 22 usan aretes y collar y 8 solo collar. Si en total hay 60 señoritas.¿Cuántos no usan aretes ni collar? a) 8 b) 10 d) 14 c) 12 e) 16 Resolución: Clave: 4 En un grupo de caballeros se observa que 30 usan sombrero; 18 sombrero y bastón y 13 solo bastón. Si en total hay 50 caballeros.¿Cuántos no usan baston ni sombrero? a) 9 b) 7 d) 8 c) 6 e) 3 Resolución: Clave: Un compromiso que va más allá de tu ingreso Clave: 17 YAWAR WAYNA Pioneros 5 De 50 alumnos de un aula : 30 tienen libro de razonamineto Matemático 27 tienen libro de Razonamiento Verbal 5 no tienen ninguno de estos libros ¿Cuantos alumnos tienen libro de Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal. a) 10 b) 12 d) 18 5 En un salón de 60 alumnos, se obsero que 30 alumnos tienen un libro de Aritmética; 40 alumnos tienen un libro de Álgebra; 10 no tienen ninguno de estos libros.¿Cuántos tienen libro de Aritmética y Álgebra? a) 23 b) 15 d) 18 c) 16 e) 20 c) 17 e) 20 Resolución: Resolución: Clave: 6 De 120 personas 30 conocen sólo Argentina; 40 conocen Brasil. ¿Cuántas personas no conocen ninguno de estos paises? a) 50 b) 100 d) 180 c) 120 e) 200 6 De 100 personas 30 solo hablan ingles y 50 hablan francés.¿Cuántos no hablan ninguno de estos idiomas? a) 20 b) 80 d) 90 c) 60 e) 70 Resolución: Resolución: Clave: 18 Clave: Clave: Sirviendo al pueblo de todo corazón. I YAWAR WAYNA 7 Aritmetica Se encuestó a 120 alumnos sobre sus referencias por el voleibol o la natación;...
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  • Winter '20
  • ANGEL
  • Aritmética, Enseñanza, Ecuación, Número entero, Número natural

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