3 bir boyutlu kutudaki parack in n 1 2 3 kuantum

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: tanımlarsak denklemin çözümü Ψ ( x) = N 1 e ik 0 x + N 2 e -ik 0 x 3.33 şeklindedir. Bu ifade Euler açılımı kullanılarak yazılırsa; Ψ ( x) = A cosk 0 x + B sink 0 x 3.34 ifadesi elde edilir. Bu ifadelerdeki N1 , N2 , A ve B boylandırma çarpanları olup sınır koşullarından belirlenirler. Burada ise sınır koşulları belli olmadığından boylandırma çarpanları belirlenemezler. Sistemin toplam enerjisi ise yalnızca kinetik enerjiden ibaret olduğundan eşitlik 3.32 den, serbest parçacığın toplam enerjisi; 22 p2 E= H k0 = 0 2m 2m 3.35 ile belirlidir. Burada p0 dalganın momentumudur ve p0 = H k0 eşitliğiyle tanımlıdır. AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 3.36 52 KUANTUM FİZİĞİ p0 momentumunun alabileceği değerler konusunda hiçbir ön şart olmadığından, parçacığın momentumu kesinlikle bellidir. Bu nedenle serbest parçacık E > 0 olan her enerji değerini alabilir. Yani enerjisi süreklidir. Parçacığın konumu ise olasılık yoğunluğundan ρ( x) = Ψ ( x) 2 = A 2 e ik0 x e -ik0 x + B 2 e -ik0 x e ik0 x = A 2 + B 2 = sabit şeklinde bulunur. Yani parçacık uzayda her yerde aynı olasılıkla bulunabilir. Şu halde serbest parçacığın momentumu kesinlikle belli, konumu ise tamamen belirsizdir. 11.2. Bir Boyutlu Kutudaki Parçacık L genişliğindeki bir boyutlu kutu içindeki parçacık için Schrödinger denklemini çözelim. Böyle bir kutu diyagramı Şekil 3.2'de gösterilmiştir. Böyle bir kutu matematiksel olarak; 0 < x < L için U( x) = 0 3.37 x < 0 veya x > L için U( x) = ∞ şeklinde tanımlanır. Parçacık sonsuz U yüksek duvarlardan dışarıya çıkamayacağına göre daima kutu içinde kalacaktır. Bu nedenle kutunun dışında Ψ(x) = 0 olur. Bu durumda sadece kutu içinde parçacığa eşlik eden bir Schrödinger Dalgasından söz edilebilir. Kutu içinde U(x) = 0 olduğundan burada da serbest parçacık hali söz konusudur ve ilgili Schrödinger denklemi; d 2 Ψ = 2mE Ψ = 0 2 dx 2 H 3.38 olur. k 0 = 2mE H U(x) = ∞ U(x) = ∞ U(x) = 0 x 0 Şekil 3.2: L Genlikli ve Sonsuz Yüksek Duvarlı Bir Boyutlu Kutu Diyagramı 3.39 olmak üzere bu denklemin çözüm fonksiyonu; Ψ ( x) = A sink 0 x + B cosk 0 x 3.40 şeklindedir. 3.37 sınır şartları kullanılırsa; x = 0 iken Ψ(x) = 0 olacağından, B ≡ 0 olmalıdır. Diğer sınır şartı ise x = L de Ψ(x) = 0 şeklindedir. Bu şart kullanılırsa; ANADOLU ÜNİVERSİTESİ KUANTUM FİZİĞİ 53 sin k0 xL = 0 3.41 olması gerektiği görülür. Bunun için de k0 L nin " π" nin bir tamsayı katı olması yani; k0L = nπ (n = 1,2,3...) 3.42 olması gerekir. Bu eşitlikten izinli E enerjileri için; 222 En = n π H 2mL 2 3.43 değeri bulunur. 3.43 eşitliğine dikkat edilirse burada enerji kuantumludur. Bu durumu belirlemek için enerjiyi gösteren E sembolü En şeklinde kullanılmıştır. Görüldüğü gibi sonsuz derin kuyu içine hapsolmuş bir parçacığın alabileceği enerji değerleri klasik mekaniktekinin aksine sürekli değil kesiklidir. Yani parçacık ancak belli enerji düzeylerinde bulunabilir. Bir boyutlu kutudaki parçacık için izinli dalga fonksiyonu ise; Ψ n ( x) = A sin nπ x L 3.44 ifadesiyle verilir. Bu dalga fonksiyonu 3.15 boylandırma koşuluyla boylandırılırsa; +∞ ∫ Ψ * ( x) Ψ n dx = 1 3.45 -∞ elde edilir. Bu integral alma işlemi yapılırsa boylandırılmış dalga fonksiyonu; Ψ n ( x) = 2 sin nπ x L L A= 2 L olarak bulunur ve 3.46 şeklini alır. Bir boyutlu kutudaki parçacık için, parçacığın herhangi bir x konumunda birim hacimde bulunma olasılığı yani olasılık yoğunluğu; ρn ( x) = Ψ * ( x) Ψ n( x) = 2 sin 2 nπ x n L L 3.47 şeklinde bir fonksiyondur. Şekil 3.3'te bir boyutlu kutudaki parçacık için enerji seviyeleri ve Ψn (x) dalga fonksiyonu ile ρ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/22/2012 for the course PHYSICS 12 taught by Professor Aa during the Fall '12 term at Uludağ Üniversitesi.

Ask a homework question - tutors are online