Tautologi - BAB ITAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: BAB ITAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIANPada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktianyang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan dalambidang lain, khususnya untuk mempertajam daya nalar.2.1TautologiDi dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta(peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar bahasa, Agar kita dapatmembicarakan suatu peristiwa (fakta) tertentu dari semestanya kita memerlukan suatulambang. Lambang ini disebut kalimat konstan/konstanta yang ditulis dengan,,dan sebagainya.Jika Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 mempunyai simbolContoh 2.1.1 danTono berasal dari luar Jawa mempunyai simbol ., maka kalimat,1. Tono mahasiswa dengan IPK 3,5 dan berasal dari luar Jawa mempunyai simbol.2. Jika Tono berasal dari luar kota, maka Tono mahasiswa dengan IPK 3,5mempunyai simbolDalam hal ini simbol , , . danmerupakan konstanta kalimat ataukalimat konstan.Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut variabel)Definisi 2.1.2kalimat, yang ditulis denganMisalkan diberikan bentuk-bentuk.Contoh 2.1.31.dan sebagainya..2.Masing-masing rangkaian tanda merupakan bentuk kalimat (statement form); dan jikavariabeldiganti dengan kalimat-kalimat konstan akan berubah menjadi suatupernyataan. Sebagai contoh pada kalimat ke-1,1. Jikadisubstitusi dengan kalimat: Kuadrat bilangan real selalu non negatifdisubstitusi dengan kalimat Ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1.Maka diperoleh pernyataan:Kuadrat bilangan awal selalu negatif dan ada bilangan asli yang lebih kecildaripada 1, yang bernilai salah.2. Jikadisubstitusi dengan kalimat, Kuadrat bilangan real selalu non negatifdisubstitusi dengan kalimat Tidak ada bilangan yang lebih kecil daripada 1.Maka diperoleh pernyataan:Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan tidak ada bilangan asli yang lebihkecil daripada 1, yang bernilai benar.Contoh 2.1.4Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menyajikanhukum-hukum logika kalimat disebut tautologi.Di dalam tautologi setiap penggantian dari semua variabel di dalamnya dengankonstanta-konstanta kalimat akan menghasilkan suatu pernyataan yang bernilai benar.Tentu saja dalm penggantian, untuk masing-masing variabel (simbol) yang sama harusdigantikan dengan konstanta kalimat yang sama.Untuk melihat apakah suatu bentuk kalimat merupakan suatu tautologi atau bukandapat dilakukan dengan membuat tabel nilai kebenaran dari bentuk tersebut denganmendaftar semua kemungkinan (kombinasidan) dari setiap nilai kebenaranvariabelnya.Contoh 2.1.5Diberikan bentuk-bentuk,1.2.Pada bentuk ke-1, apapun kalimat konstan yang menggantikanpernyataan yang bernilai benar.TFFTTTDemikian juga pada kalimat ke-2. hal ini dapat dilihat pada halaman ....akan menghasilkanBentuk-bentuk kalimat yang memuat variabel kalimat yang selalu bernilai salahuntuk setiap penggantian variabel kalimat dengan konstanta kalimat disebut kontradiksi.Sebagai contoh bentuk,,selalu bernilai salah untukapapun sesuai tabelTFFTFFIngkaran dari tautologi akan merupakan kontradiksi, sebab tautologi selalu bernilai benaruntuk setiap penggantian variabel kalimatnya, sehingga ingkarannya akan selalu bernilaisalah.Selanjutnya, untuk membuktikan suatu bentuk kalimat merupakan tautologi selainmenggunakan tabel kebenaran dapat juga dilakukan dari luar tabel denga mengamatihasil dari tabel. Sebagai contoh akan dibuktikan.1.dan2.Penyelesaian:1. Bentuk ini merupakan implikasi, sehingga akan bernilai benar jika antesedenbernilai salah atau konsekuen benar. Satu-satunya kemungkinan yang dapatmembuat kalimat bernilai salah adalah anteseden yaitujikabernilai benar. Tetapibernilai benar, maka sesuai nilai kebenaran dari disjungsi, bentukpasti bernilai benar apapun. Akhirnyajuga bernilai benar.2. Bentuk kalimat ini merupakan biimplikasi, sehingga akan bernilai salah hanya jikakeduanya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda.Karenadanmerupakan variabel kalimat, maka hanya cukup dibuktikansalah satu sisi saja. Misalkan sisi sebelah kiri bernilai benar, makasalah atauimplikasibernilai benar. Jikabernilaibernilai salah, maka apapunpasti bernilai benar, sehingga,,pasti bernilai benar. Sedangkan jikasalah ataubernilai benar, makabernilaibernilai benar, sehingga bentuk,pasti benar.Latihan 2.11. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bentuk-bentuk kalimat berikut ini apakahmerupakan kalimat terbuka, tautologi atau kalimat yang selalu bernilai salah:1.11.41.21.51.31.62. Tanpamenggunakanpengisiantabelpembuktian,qbentuk-bentukberikutmerupakan tautologi.2.12.22.32.42.2Rumus-rumus tautologiDi bawah ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat dibuktikandengan menggunakan metode tabel nilai.Rumus 2.1 (Komutatif)1.2.Rumus 2.2 (Distributif)1.2.Rumus 2.31.3.2.4.Rumus 2.41.3.Rumus 2.5 (Asosiatif)1.2.Rumus 2.6 (Identitas, negasi rangkap dan idempoten)1.3.2.4.Dua rumus berikut ini sudah dibicarakan di dalam Bab I.Rumus 2.7 (Hukum De Morgan)1.2.Rumus 2.81.2.Rumus 2.91.3. (2.4.Rumus 2.10Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi, konjungsi dandisjungsi.1.3. (2.4.Rumus 2.111.2.(sifat transitif)Rumus 2.121.2.Rumus-rumus di atas dapat dijadikan dasar untuk membuktikan tautologi-tautologibentuk lanjutan tanpa menggunakan pengisian tabel kebenaran. Sebagai contoh akandibuktikan:Bukti:!" !#$$$%!#$$%& '()(!" !#$$$%Suatu tautologi juga dapat dibuktikan dengan cara membawa bentuk kalimat yangakan dibuktikan ekuipolen ke nilai benar (T) dengan menggunakan rumus-rumus dasar.Contoh 2.2.1merupakan tautologi.Buktikan bahwa!" !#$$$%Bukti :*+,-./.+#$$$$$%#$$%0!#$$%1!#$$%1!#$$%Latihan 2.2Buktikan, bahwa Rumus 21. 2.12 di atas merupakan tautologi denganmenggunakan pengisian tabel. Jika mungkin buktikan juga tanpa menggunakan pengisiantabel.2.3Metode PembuktianDi dalam bidang matematika ada tiga hukum penting tautologi yang digunakansebagai metode pembuktian yaitu:1. Modus Ponens2. Hukum Kontraposisi3. Reductio ad absurdumModus ponens termasuk dalam bukti secara langsung. Sedangkan kontraposisi danreductio ad absurdum dipandang sebagai bukti tidak langsung. Pembuktian suatu teorilebih diutamakan menggunakan bukti secara langsung.2.3.1Modus PonensRumus 2.13Hukum ini dapat disajikan dengan skema sebagai berikut.234Jika implikasi 2335 merupakan fakta (hukum) yang benar dan fakta 25 terjadi,maka dapat disimpulkan fakta 35pasti terjadi.Contoh 2.3.1Buktikan bahwa salah satu titik potong grafik fungsi denganpersamaan6 7 8 9 7 :9 0 ; :9 ; < terhadap sumbu = berada di interval >< (?.Penyelesaian:Di dalam kalkulus berlaku sifat (implikasi) jika 8 kontinyu pada interval>@ A?, dan berlaku 8 @ dan 8 Aberbeda tanda, maka dapat ditemukanB C >@ A?yang memenuhi 8 B 7 D. Jadi implikasi ini bernilai benar.Fungsi 6 7 8 9 7 :9 0 ; :9 ; < kontinyu pada >< (? dan 8 E D serta 8 B( F DJadi anteseden implikasi terjadi, maka apat disimpulkan terdapat 9" C >< (? yang berakibat8 9" 7 :9" ; < 7 DJadi satu titik potong grafik fungsi 8 terhadap sumbu = berada di interval >< (?.2.3.2 Hukum KontraposisiSeringkali kita mengalami kesulitan untuk membuktikan bahwa peristiwa G terjadidari diketahuinya fakta 4 . Untuk itu kita bisa menggunakan hukum kontraposisi.Rumus 2.1.4Dengan kata lain, jika dari fakta G dapat dipastikan terjadinya 4 , maka dapatditarik kesimpulan , bahwa dengan berlakunya fakta 4 dapat dipastikan G terjadi.Sebaliknya jika implikasi 4G merupakan fakta yang benar, maka dapat diketahuinyaG terjadi, dapat ditarik kesimpulan 4 pasti terjadi, seperti skema berikut ini.243G+Contoh 2.3.2Buktikan, bahwa jika < H ;<Penyelesaian:Ingkaran J genap adalah J ganjil. akibatnya< H ;<+I D, maka J genap.;<+7 ;< Sehingga7 D yang merupakan ingkaran dari < H ;<+IDjadikontraposisinya dapat dibuktikan, sehingga kalimat aslinya secara tidaklangsung juga terbukti.2.3.3 Reductio ad absurdumMisalkan kita akan membuktikan pernyataan4 , yaitu4 . Dari pengandaiantersebut dengan penalaran yang sahih diturunkan suatu kontradiksi. Hal ini hanyamungkin terjadi kalau terjadi kesalahan pada pengandaian, sehingga pengandaian harusdiingkar, yaitu 4 .KBerikut ini disajikan rumus-rumus tautologi yang merupakan bentuk-bentuk reductioad absurdum:KLRumus 2.15MKMLMisalkan akan dibuktikan pernyataan 4 . Diandalkan 4 . Jika dari kalimat 4 dapatditurunkan G4GG , maka dapat disimpulkan 4 terjadi.G2Benar : Tautologi4GGDiturunkan dari 42T : Modus PonensBuktikan, bahwa N( bilangan irrasional.Contoh 2.3.3Bukti : Yang akan dibuktikan pernyataan OP N( bilangan irrasional. Diandaikan O berlaku,dengan kata lain N( bilangan rasional. DiQ berlaku sifat untuk setiap bilangan rasionaldapat dinyatakan dengan7R+,Dengan S dan J bilangan bulat, J I D dan S J yaitu faktor persekutuan terbesar dari SRdan J sama dengan 1. N( bilangan rasional, maka N( 7 , untuk suatu bilangan bulat S+dan J dengan J I D dan S J 7 < (Modus ponens), sehingga(J 7 N(J7 S 7 SSSesuai modus ponens dapat disimpulkan S 7 (B , dengan c bilangan bulat. Akibatnya(J 7 (B (B dan sesuai sifat konselasi berlaku JJ 7 J 7 (B , sama dengan J 7 (Tuntuk suatu bilangan bulat T Akibatnya S J U ( kontradiksi S J 7 < dan S J U (Yang benar O P N( bilangan irrasional.Rumus 2.16Untuk membuktikan 4 , terlebih dahilu diandaikan 4 . Jika dari pengandaian 2Kdapat diturunkan 4 , maka terjadi kontradiksi antara 4 (dari pengandaian) dengan 4(hasil penurunan dari asumsi). Akibatnya pengandaian harus diingkar dan terbukti 4 ,yaitu 24424425 Diturunkan dari 42Contoh 2.3.4Benar : TautologiT : Modus PonensDi dalam himpunan semua bilangan bulat notasi 9! 9 V 9+ adalahsimbol faktor persekutuan terbesar dari 9! 9 V 9+ , buktikan, Bahwa,9 6 7 6 W 7 9 W 7<9 6 W 7<BuktiAndaikan 9 6 W F < Karena 9 6 W faktor persekutuan 9 , 6 dan W,maka 9 6 W X9 Y dan 9 6 W 6, sehingga 9 6 W Z 9 6 . Akibatnya:< E 9 6 dan terjadi kontradiksi dengan 9 6 7 <Contoh 2.3.5Di dalam semesta himpunan semua bilangan berlaku sifat jika W bilanganYprima dan W X@AY dengan @ dan A keduanya bulat, maka WX@Y atau WXA.BuktiAndaikan W [ A, Karena WXAA +\! Y maka sesuai sifat bilangan prima WXAYatau WXA +\! Y Oleh karena W [ A, maka WXA +\! Y dan A +\! 7 AA +\JadiWXA +\! Y WXA +\0 Y dan seterusnya. Pada akhirnya WXAY, sehingga dapat:Ydisimpulkan WXA.Rumus 2.1.7Misalkan kita akan membuktikan implikasi44G . Ingkaran4GadalahG sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan G terjadi. Jika dapatdibuktikan G , maka terjadi kontradiksi,4G4GG4T : TautologiT : G Diturunkan dari 4G2Contoh 2.3.6GG3 T : Modus PonensDenagn semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real, buktikanbahwa jika untuk setiap C U 0 berlaku @]^_A H C, maka a Z b.Bukti :Misalkan,2 : Untuk setiap ` U 0 berlaku a Z b + C, dan3 : a Z b,Sehingga yang akan dibuktikan adalah implikasi 24G berlaku. Jadi 4a Z b + C tetapi.\c3, diandaikanG terjadi, yaitu untuk setiap C U 0 memenuhiF a Akibatnya ba F D Dipilih C yang sama dengan, maka C > 0 dan@ Z AHC7 A H@;A(Akibatnya (@ Z (A H @ ; A , sehingga @ Z A, yaitu terbukti G . Sesuaitautologi terbuktilah 23.Rumus 2.18Misalkan kita akan membuktikan implikasi 22Ingkaran 23 adalahG , sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan 25 terjadi. Jika dapatdibuktikan 4 , maka terjadi kontradiksi, sehingga 223.G harus diingkar dan terjadilah3.44G4G4G4T : TautologiT : 4 Diturunkan dari 423GT : Modus PonensBuktikan bahwa jika @ dan A positif bilangan real positif, maka,Contoh 2.3.7!@ H A U N@A ,Penyeleseaian :1. Bukti secara posisitf : karena @ dan A positif, maka @ A @ H A dan@;Apositif, sehingga,@HAU @HA; @;A=@HA@ H (@A H AU; @ ; (@A H Ad@A!1@HAU@A!@HAUN@A2. Bukti tidak langsung : Misalkan2 : @ dan A positif, dan G e!@HAU N@ABerarti yang harus dibuktikan adalah 223 terjadi, maka @ dan A positif, tetapiAkibatnya!1@ H (@A H A!71 @HA35 Diandaikan ingkaran 2!@HAE N@A.E @A, sehinggaJadi@;A35 yaitu7 @ ; (@A H A E D@ H (@A H A E d@Ayang berarti @ kompleks atau A kompleks, yaitu ingkaran dari @ dan A real positif,sehingga terbukti 235Rumus 2.19Dari tautologi ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa dari sesuatu yang salahpernyataan apapun dapat dibuktikan (Ex falso sequitur quod libet). Hal ini berakibat, dibidang matematika jika terjadi suatu kontradiksi 2 dan 4 , maka pernyataan matematikasebarang 3 (berbentuk rumus, teorema, hukum dan sebagainya) dapat dibuktikan bernilaibenar.444GT : TautologiT : karena ketentuanT : Modus PonensT : karena ketentuanT : Modus PonensLatihan 2.31. Buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi, jika mungkin tanpamenggunakan tabel.1.1.1.2.Modus toilendo ponens1.3.f1.4.f1.5.2. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwabanyaknya bilangan-bilangan prima tak terhingga.3. Buktikan bahwa jika!4. Buktikan bahwa jika< H ;<Oi', yaituganjil maka J genap.bilangan prima, maka g merupakan irrasional.5. Diketahui segitiga sama sisisangkar+h dengan panjang sisi 1 terletak pada bujurterletak pada Oi dan h pada i'. Buktikan bahwa luassegitiga ih sama dengan jumlah luas segitiga O dan 'h .6. Buktikan dengan reductio ad absurdum, bahwa akar-akar persamaan,9 + H @! 9 +\! H j H @+\! 9 H @+ 7 Dbernilai bulat atau irrasional.7. Tunjukkan, bahwa di dalam himpunan semua bilangan bulat pernyataanpernyataan berikut ekuivalen.1. 9 6 W 7 <4. 9 6 7 <2. 9 W 7 <5. 9 6 7 6 W 7 9 W 7 <3. k l 7 <8. Dengan menggunakan pengetahuan di mata kuliah kalkulus, buktikan bahwaperpotongan grafik fungsi dengan persamaan 6 7 :9 0 ; :9 ; < terhadap sumbu= hanya ada tepat satu titik.9. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa jika Jbulat dan J habis dibagi 2, maka J juga habis dibagi 2.10. Misalkandiketahui@m ,dengann7< V Jadalahpernyataan-pernyataan.Tunjukkan, bahwa untuk membuktikan@!@j@+cukup dibuktikan@!@j@+@!11. Diberikan 80 koin mata uang, terdiri dari 79 koin asli dengan bobot sama dan 1koin palsu dengan bobot lebih berat, Dengan menggunakan timbangan berlengansama, tentukan jumlah minimal banyaknya penimbangan dan bagaimana caramenimbangnya agar akhirnya diketahui koin yang palsu.12. Lima buah kartu yaitu: A, B, C, D, E akan diberi nomor dari 0, 1, 2, 3 atau 4 tanpaada yang sama dan dimulai dari kartu paling kiri, A. Misalnya A diberi nomor o.kemudian kartu paling kanan diletakkan di sebelah kiri kartu paling kiri, berturutturut E, D, dan seterusnya sampai sebanyak d ; o kartu. Kemudian kartu paling kiridiberi nomor ] , yaitu satu diantara 0, 1, 2, 3, 4 selain o; selanjutnya secaraberturutan dari kartu paling kanan, d ; ] kartu dipindahkanke sebelah kiri kartuyang paling kiri. Jika proses dilanjutkan dengan cara tersebut tunjukkan, bahwalangkah penomoran akan gagal.belum lengkap hal buku 24...
View Full Document

Page1 / 13

Tautologi - BAB ITAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online