BAB 5.doc - BAB 5 Grup Permutasi Dan Teorema Cayley Pada...

This preview shows page 1 - 4 out of 11 pages.

BAB5Grup Permutasi Dan Teorema CayleyPada Bab 1 kita telah mendiskusikan istilah pemetaan atau fungsi. Kita juga telahmembicarakan beberapa jenis pemetaan, seperti pemetaan pada, pemetaan satu-satu danpemetaan bijektif. Pada bab ini kita akan mendiskusikan suatu pemetaan bijektif darisuatu himpunanAke dirinya sendiri. Pemetaan bijektif seperti ini disebut sebagaipermutasi atasA. Seperti yang sudah anda duga dari judul bab ini, kita bermaksuduntuk membentuk suatu grup dari permutasi-permutasi ini. Kemudian tentu kita bertanya,apakah operasi biner dari himpunan semua permutasi pada himpunanA? Dalam Bab 1kita telah membicarakan bahwa komposisi dua pemetaan akan menghasilkan suatupemetaan. Juga sudah kita perlihatkan bahwa komposisi dari dua buah permutasi akanmenghasilkan permutasi pula. Sekarang timbul pertanyaan “ Apakah himpunan semuapermutasi atas suatu himpunanAdengan operasi komposisi pemetaan membentuk suatugrup ?” Secara ringkas, jawaban dari pertanyaan ini adalah ya.5.1Teorema CayleyUntuk menjawab pertanyaan di atas, pertama sekali marilah kita selidiki himpunan semuapermutasi pada himpunanAdengan dua atau tida unsur. Kemudaian kita akanmenyelidiki kasus ini secara umum.Andaikan2,1Aadalah suatu himpunan dengan dua unsur. Berapa banyakkahpermutasi yang mungkin pada himpunanAdengan dua unsur ?5.1Gambar12222111i
Perhatikan Gambar 5.1, dari gambar ini kita ketahui bahwa terdapat dua buah permutasiatas dua unsur, yakni permutasi identitas)(iotaidan permutasi. Semua komposisidariidankita perlihatkan pada diagram berikut ini122222211111iiiiii212112121221iiPerhatikan bahwa (1)1)(iidan (2)2)(ii, sehingga1)(ii. Dengan cara yangsama dapat diperlihatkaniai,dani. Sehingga tabel Cayley darihimpunan semua permutasi pada himpunan2,1Adengan operasi komposisipemetaan adalahiiiiTabel 5.2Himpunan semua permutasi atas dua unsur kita notasikan dengan2S. Dari Tabel 5.2kitaketahui bahwa unsur identitas dari2Sadalahi, dan setiap unsur mempunyai unsurkebalikan dirinya sendiri. Sekarang timbul pertanyaan “Apakah operasi komposisipermutasi adalah asosiatif ?”. Tentu saja jawabannya “ya”. Sehingga himpunan semuapermutasi atas himpunan2,1Adengan operasi komposisi pemetaan adalah suatugrup.Untuk mempermudah penulisan permutasi seperti pada Gambar 5.1,kita gunakannotasi yang serupa dengan notasi matriks. Misalnya pemetaan identitasidan pemetaanmasing-masing dinotasikan sebagai
1221dan2121iPerhatikan penotasiandengan menggunakan notasi matriks di atas. Baris pertamapada notasi matriks tersebut menyatakan domain dari permutasi, dan baris keduamenyatakan jangkauan dari permutasi. Penotasian ini dibaca dari baris pertama kebaris kedua di setiap kolom yang sama. Perhatikan kolom pertama, pada kolom ini unsur

Upload your study docs or become a

Course Hero member to access this document

Upload your study docs or become a

Course Hero member to access this document

End of preview. Want to read all 11 pages?

Upload your study docs or become a

Course Hero member to access this document

Term
Fall
Professor
N/A
Tags

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture