Cours_FLO.pdf - Christian JUTTEN FILTRAGE LINEAIRE OPTIMAL...

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Christian JUTTENFILTRAGELINEAIREOPTIMALUniversité Joseph Fourier - Polytech’ GrenobleCours de cinquième année du département3iOptionsImages et SignauxetAutomatiqueAoût 20101
Table des matières1Introduction51.1Problèmes de filtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2Plan du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Processus stochastiques discrets72.1Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2Matrices d’auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2.1Matrice d’auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2.2Propriétés de la matrice d’auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . .82.3Modèles stochastiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.3.1Modèles auto-régressifs (AR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.3.2Modèle MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.3.3Modèle ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.3.4Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4Caractérisation d’un modèle AR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.4.1Equations de Yule-Walker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.4.2Résolution des équations de Yule-Walker (YW). . . . . . . . . . . . . .142.5Processus AR d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.5.1Stationnarité asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.5.2Fonction d’auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.6Sélection de l’ordre du modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.6.1Critère AIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.6.2Minimum description length. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183Filtrage de Wiener193.1Enoncé du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193.2Equation de Wiener-Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.2.1Expression générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.3Représentation des performances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243.3.1Erreur quadratique : forme générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243.3.2Erreur quadratique minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243.3.3Forme canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251
4Prédiction linéaire264.1Prédiction avant (forward prediction). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264.1.1Modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264.1.2Erreur de prédiction à un pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.1.3Comparaison entre le filtre de Wiener et le filtre prédicteur. . . . . . . .284.2Prédiction arrière ou rétrograde à un pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.2.1Le problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.2.2Optimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.2.3Relation entre prédiction avant et arrière. . . . . . . . . . . . . . . . . .304.2.4Erreur de prédiction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315Algorithmes adaptatifs325.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325.1.1Objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325.1.2Dérivation par rapport à un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325.2Algorithme de descente ousteepest descent algorithm. . . . . . . . . . . . . . .345.2.1Rappel sur les notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345.2.2Algorithme de descente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345.2.3Stabilité de l’algorithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355.2.4Vitesse de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365.2.5Erreur quadratique moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375.3Algorithme du gradient stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385.3.1Conception de l’algorithme du gradient stochastique. . . . . . . . . . .385.3.2Analyse de la stabilité du LMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395.3.3Comparaison LMS/Descente du gradient. . . . . . . . . . . . . . . . .425.3.4Algorithme LMS normalisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425.4Algorithme des moindres carrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425.4.1Equations préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.4.2Forme récursive pour le calcul deΦuu(n)etθ(n). . . . . . . . . . . . .445.4.3Lemme d’inversion matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445.4.4Initialisation de l’algorithme des moindres carrés récursifs. . . . . . . .456Filtre de Kalman discret466.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466.1.1Histoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466.1.2Equations de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466.2Erreursa priorieta posteriori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476.2.1Erreura priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476.2.2Equation de mise à jour et erreura posteriori. . . . . . . . . . . . . . .476.2.3Optimisation du gainKk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486.2.4Matrice de covariance de l’erreura posteriorioptimale. . . . . . . . . .486.3Algorithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.3.1Algorithme 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.3.2Forme alternative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.4Innovation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506.4.1Prédiction deˆzk/(k1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.4.2Innovation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512
6.4.3Interprétation de la mise à jour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .526.4.4Stabilité du filtre de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.5Un filtre de Kalman pour éliminer le 50 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.5.1Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.5.2Modèle de génération du signal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536.5.3Algorithme de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .556.5.4Réponse du filtre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .556.5.5Analyse fonctionnelle du filtre Notch du second ordre. . . . . . . . . .576.5.6Programmes et résultats sur des ECG. . . . . . . . . . . . . . . . . . .573
Chapitre 1Introduction1.1Problèmes de filtrageLe filtage est une opération fondamentale en traitement du signal et en automatique. Par fil-

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Term
Summer
Professor
Rada
Tags
temps, bruit, processus stochastique, produit scalaire, Traitement du signal, S rie temporelle

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