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Unformatted text preview: INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Investigación Operativa Tomo I Capítulo I OBJETIVOS DEL CAPÍTULO I Al finalizar el capítulo el alumno estará en capacidad de: 1.2.3.4.. Tener una perspectiva de lo que es la Investigación Operativa Mejorar la toma de decisiones gerenciales Entender el concepto de modelo Entender los cinco pasos más importantes en I.O. a.b.c.d.e.- Definición de un problema. Construcción de un modelo. Solución del modelo. Validación del modelo Implementación . 5.- Ver como se construye un modelo en dos aplicaciones gerenciales en programación lineal y análisis de decisiones. LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA INTRODUCCIÓN La Investigación Operativa es una técnica o, mejor, conjunto de técnicas que han surgido para coordinar la teoría con la práctica, para ayudar a resolver los problemas cada vez más complicados que surgen en la empresa. Muchos de los avances de la Investigación Operativa se han debido a que han encontrado nuevas técnicas matemáticas, el desarrollo de la Computación, y, sobre todo métodos más abreviados de cálculo numérico, que ha hecho factibles las soluciones a problemas que hace unos años se consideraban fuera de nuestras posibilidades. Un caso, quizá el que más se ha popularizado, es el de la PROGRAMACIÓN LINEAL. Una de las razones principales que hacen indispensable esta ciencia es que tiene que resolver cuestiones que se refieren a la empresa como totalidad. La Investigación Operativa es una ciencia considerada en formación, de ahí que no existe un concepto generalizado, y quizá por ello, están sugiriendo muchas inquietudes, pues, se puede plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades, originando frecuentemente más y nuevas posibilidades de acción práctica en esta materia. Estas características a la vez que va confirmando la utilidad de la Investigación Operativa, derivan interesantes oportunidades para crear modelos y aplicaciones muy subjetivas y de esta forma facilitar la "TOMA DE DECISIONES" en empresas y organizaciones. La Investigación Operativa, reúne un conjunto de ciencias como la Física, Biología, Psicología, Sociología, Economía y Matemática, que identificadas a un problema concreto contribuyen a encontrar la relación CAUSA-EFECTO, de un fenómeno y, en base a métodos matemáticos, estadísticos y criterios cualitativos procura una definición del problema y una solución práctica. Mediante la aplicación de modelos se puede reunir el conjunto de variables de carácter controlable y otras no controlables, integrándolas en un contexto general y predeterminando su posible comportamiento. 1 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Regularmente la Investigación Operativa utiliza métodos de aproximaciones sucesivas, es decir, generando alternativas y opciones para la decisión final, tratando obviamente de MINIMIZAR los riesgos inherentes a cada posición. ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares, solicitaron ayuda de numerosos científicos para la resolución de problemas estratégicos y tácticos. Los científicos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a buscar la utilización óptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigación Operativa. Surgieron tres elementos básicos para definir una operación de ataque militar. ESTRATEGIA LOGISTICA TACTICA : : : (Precisión de un objetivo) (Recursos disponibles) (Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos) Se realizaron muchos ensayos para comprobar el razonamiento científico, intensas investigaciones, procesos de observación estadística, probabilidades, llegando a precisar una nueva forma de apreciación sobre los problemas. Al pasar el tiempo surgieron nuevos modelos, ampliándose la iniciativa a la empresa, se la consideraba como un todo, integrándola en muchos aspectos: producción, tecnología, administración, tareas, personal, etc., es decir, dando importancia a todos aquellos factores que directa o indirectamente tienen que ver con la permanencia del producto y de la empresa. Los casos resueltos a través de los modelos de la Investigación Operativa realmente son numerosos y con sentido de practicidad y eficiencia. Problemas planteados y resueltos mediante programación lineal, programación dinámica, problemas de colas, Problemas de transporte, métodos GANT PERT, entre los más importantes, han despertado varias ideas de aplicación. Hoy podría decirse, que toda empresa de dimensión grande o mediana aplican los métodos de la Investigación Operativa, pues, contribuye eficazmente a optimizar una gran parte de los objetivos. LAS FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se lo amplía con el propósito de determinar la mejor forma de operación del sistema. Las principales fases de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes: a) b) c) d) e) f) Formulación del problema. Construcción de un modelo representativo del sistema de estudio. Búsqueda de una solución a partir del modelo. Prueba del modelo y de la solución deducida a partir de éste. Establecimiento de controles sobre la solución. Poner la solución a trabajar: EJECUCION. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA En la formulación de un problema deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos del sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado. 2 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO El siguiente paso luego de la formulación de problema, es la construcción del modelo, las características esenciales de los modelos permiten describirlos de diferentes maneras. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de abstracción. Los tipos básicos de modelos son los siguientes: 1.- Modelos Icónicos Un modelo icónico es la presentación física de un objeto o de una situación. Esta representación puede darse en dos dimensiones como sucede con los planos, los mapas o la fotografía o, también, en tres dimensiones como sucede con las maquetas. 2.- Modelos Analógicos Son representaciones que por analogía muestran características de una determinada situación. Se los utiliza, especialmente, para representar situaciones dinámicas. Son ejemplos de estos modelos las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia y los diagramas de flujo. 3.- Modelos Simbólicos o Matemáticos Son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma de cifras y símbolos matemáticos. Estos son los modelos especialmente utilizados por la Investigación Operativa y un tipo de modelo simbólico es una ecuación. DEDUCCIÓN DE LA SOLUCIÓN Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se lo desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego aplicando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener la solución óptima, en estos casos, una “BUENA” respuesta es suficiente. En otros casos, la solución óptima del modelo es una aproximación de la situación real, sin embargo, un modelo bien formulado y probado aproxima su solución óptima verdadera. PRUEBA DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN Después de obtener una solución del modelo, el modelo y la solución deben probarse. Esto puede hacerse en dos pasos: 1.2.- Usando datos pasados, haciendo una comparación entre el rendimiento real del sistema y el rendimiento indicado por el modelo. Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con aquel del modelo. ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES Una vez que un modelo y su solución se consideran aceptables, deben colocarse controles sobre la solución con el objeto de detectar cualquier cambio significativo de las condiciones en las cuales se basa el modelo; obviamente, si cambian tanto que el modelo ya no es una representación precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado. EJECUCIÓN La ejecución es una solución obtenida a partir de un modelo, es la última fase de un estudio de investigación de Operaciones. En esta fase se explica la solución a la administración responsable del sistema en estudio. Es importante que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos usados en el sistema real. 3 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Después de aplicar la solución al sistema, se observa la respuesta de éste a los cambios introducidos, esto permite realizar los ajustes y modificaciones adicionales requeridas por el rendimiento del sistema. METODOS CUANTITATIVOS QUE ESTUDIA LA I.O. A continuación se presenta una breve descripción de los diferentes modelos que estudia la I.O. 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.- Teoría de probabilidades. Varias técnicas matemáticas. Modelos de secuenciación. Modelos de reemplazo. Modelos de inventario. Modelos de asignación. Modelos de programación dinámica. Modelos competitivos. Modelos de líneas de espera. Técnicas de simulación. Modelos de ruta. Métodos de búsqueda y heurísticos. Métodos combinados de investigación de operaciones. Modelo de Programación Lineal. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERTIVA La I.O. tiene múltiples campos de aplicación, se utiliza en casi toda gestión que requiere la intervención de recursos para un objetivo determinado y reúna características muy bien definidas. En forma sucesiva los métodos operacionales han ido encontrado aceptación en los siguientes campos o sectores: - Industria - Agricultura - Construcción - Comercio - Transporte - Energía - Banca - Minería - Comunicaciones - Servicios públicos o privados Desde el punto de vista de unidades económicas, la I.O. es un valioso instrumento para resolver problemas relacionados con los siguientes aspectos: - Producción - Inventarios - Distribución - Selección de equipos - Problemas de espera - Organización y sistemas - Localización LAY-OUT - Financiamiento - Precios - Mercados - Comercialización - Informática - Administración - Gerencia - Factor humano - Seguridad industrial De acuerdo a lo anterior la I.O. refleja su versatilidad para plantear, analizar y sugerir la mejor solución a los diferentes problemas que por sectores económicos o factores internos de la empresa pueden presentarse. LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA Así como esta materia nos permite resolver muchos tipos de problemas, también, encontramos algunas limitaciones en la práctica, las que pueden sintetizarse en las siguientes: a) Capacidad del equipo investigador.- Se refiere a las restricciones en cuanto a contar con profesionales especializados en la rama. 4 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I b) c) d) e) ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Costo de la investigación.- El costo es alto, pero, es necesario anotar que muchas empresas lo consideran como inversión ya que les permite minimizar errores. El uso del computador.- Actualmente es necesario la utilización de los lenguajes de computación. Grado de interés de la empresa.- En los países menos desarrollados no dan el apoyo respectivo a estas investigaciones. Servicios de informática.- Generalmente las empresas no cuentan con unidades sistematizadas de información, capaz de dar agilidad a la obtención de datos, fundamentalmente con los necesarios para la identificación de coeficientes técnicos por unidad. Esta es una restricción que obstaculiza el proceso de la investigación. Es indudable, desde luego, para las empresas que cuentan con servicios internos de información, obtengan mejores resultados a través de los medios de la informática. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La metodología debe pretender que el decidor, aquel que tomará el riesgo de la decisión (riesgo porque es de su responsabilidad el éxito o fracaso de la operación), puede afectar la decisión más racional posible, o sea, que se minimice el riesgo de ser equivocado. La metodología a utilizarse debe adaptarse “A fin de facilitar la decisión”, para ello contará con modelos fundamentalmente matemáticos, con la calificación de los factores que intervienen en el proceso. Conocido el modelo matemático, cuantificados los parámetros que en él intervienen, habrá que hacer uso del juego lógico matemático para obtener soluciones. 5 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Capítulo II Programación Lineal OBJETIVOS DEL CAPITULO III Después de finalizar satisfactoriamente este capítulo, usted debe estar en capacidad de: 1.- Determinar las soluciones óptimas para problemas de programación lineal utilizando el criterio pesimista, el criterio optimista y el criterio del valor esperado. 2.- Utilizar técnicas de asignación de cantidades fijas de recursos a la satisfacción de varias demandas. PROGRAMACIÓN LINEAL La PL. Es una clase de modelos de programación matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los modelos de P. L. es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales o sea inecuaciones o ecuaciones de primer grado. La PL. Tuvo sus orígenes a raíz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Dantzin, quien realizó investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar. Leonfiel aportó principalmente en relaciones interindustriales a través de su Matriz de Insumo - Producto. Koopmans, incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas resolviendo casos de producción, asignación de recursos, maximización de beneficios y minimización de costos, etc. La PL. Es un modelo sistemático y matemático de enfocar determinado problema para lograr una solución óptima o la mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del problema), un conjunto de restricciones lineales y una condición de eliminar valores negativos (condición de no negatividad). OBJETIVOS Y APLICACIONES El objetivo básico de la PL. es encontrar soluciones mediante métodos matemáticos, utilizando sistemas lineales, a problemas de carácter técnico-económico que se presentan por la limitación de recursos. A través de la PL. se pueden resolver interesantes casos tales como: combinación óptima de mezclas de producción, disposición interna de procesos, maximización de beneficios, localización, asignación de recursos, minimización de costos, transporte, entre los más sobresalientes. En cuanto al área de aplicación se resuelven casos en la industria en general y dentro de ésta con mejores opciones en la industria química, hierro y acero, papel y cartón, petróleo, farmacéuticos, alimenticios y textil. Se han realizado aplicaciones también en la agricultura, construcción, aviación, sistemas hidroeléctricos, transporte, etc. Conceptos básicos Linealidad Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los demás y a las cantidades de cada uno de los productos. 6 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Divisibilidad Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos. Finitud Tanto el número de procesos identificados cuanto los recursos disponibles, deberán corresponder a cantidades finitas, esto es, conocidas y cuantificadas en forma determinística. Algoritmos o Iteraciones Como se dijo anteriormente la I. O. en lo que se refiere a la P. L. utiliza métodos mediante aproximaciones sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o iteraciones y, según los cuales se determina pasos o etapas hasta obtener el objetivo planteado. El problema general de la PL. Los problemas de la PL. se presentan por la limitación de recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos a la vez que son limitados en términos “per se” (por sí mismo) pueden ser distribuidos en tantas formas como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un mismo objetivo, de allí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema, a fin de encontrar las mejores alternativas de uso, cumpliendo con el propósito fijado. Un problema de PL. trae implícitamente el sentido de función, propósito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisión). Los problemas de PL. planteados y resueltos por cualquiera de los métodos deberán cumplir cuatro condiciones necesarias y suficientes: 1° Función objetivo Es la ecuación que expresa la cantidad que va a ser maximizada o minimizada según el objetivo planteado y es de la forma Z C1 X 1 C2 X 2 C3 X 3 C4 X 4 ...................... Cn X n Z(MAX) para los casos de maximización Z(MIN) para los de minimización. C1 , C2 , C3 , C4 ............. Cn Coeficientes de la función objetivo pueden ser márgenes X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ............ X n de beneficios, precios, costos unitarios, etc. Variables del problema, lo que queremos lograr. 2° Limitaciones y Restricciones Es el conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan las condiciones finitas del problema, denominados también COEFICIENTES TECNICOS de producción, tecnológicos, de transporte, etc., según sea el caso de estudio. A11. X 1 A12 X 2 A13 X 3 ............... A1n X n T1 b1 A21 X 1 A22 X 2 A23 X 3 ............... A2 n X n T2 b2 A31 X 1 A32 X 2 A33 X 3 ............... A3 n X n T3 b3 ...................................................................................... ...................................................................................... Am1 X 1 Am 2 X 2 Am 3 X 3 .............. Amn X n Tn bn 7 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Donde A11 A12 A13 .......... A1n A A A .......... A 2n 21 22 23 A31 A32 A33 .......... A3 n Coeficientes Técnicos ............................ ............................ Am1 Am 2 Am 3 ......... Amn X 1 , X 2 , X 3 ..........X n T1 , T2 , T3.............Tn Variables o incógnitas del problema. Signos o límites del sistema. Igual o menor que Mayor o igual que Igual 3. No negatividad En la resolución de los problemas de P. L. en ningún caso se aceptarán resultados negativos en las respuestas, pues, no se concibe producción negativa, gastos negativos, tendrán que ser por lo menos igual o mayor que cero. Xn 0 4° Condiciones de Optimización Se van obteniendo por aproximaciones sucesivas. Solución factible: Aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema. Solución básica factible: Es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones como la función objetivo del problema (optimización). EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL MAXIMIZACIÓN PROBLEMA N° 1.Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta calidad gana S/4 y en cada cinturón B de baja calidad gana S/3. El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cinturones de tipo A. Sólo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B combinados, de 200 hebillas elegantes para el cinturón A y de 350 hebillas diarias para el cinturón B ¿Qué producción maximiza la ganancia? Formulación del problema A X1 4 Recursos Piel Hebillas A Hebillas B Capacidad B X2 3 = = = Consumo 1 1 1 0 0 1 2 1 Productos Número producido Utilidad Disponibilidad 400 200 350 500 Función objetivo: Maximizar la utilidad total Z(MAX) = 4X1 + 3X2 8 INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO I ECON. JUAN CARLOS ERAZO F. Restricciones: 1.2.3.4.5.- X1 + X2 X1 X2 2X1 + X2 X1, X2 400 200 350 500 0 (Consumo de piel) (Consumo de hebillas A) (Consumo de heb...
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