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Unformatted text preview: 4.1)式。 对于隐函数方法,假设无差异曲线可由函数 x2 = x2 ( x1 ) 刻画。也就是说,对于 x1 的每 个值, x2 ( x1 ) 相应给出了 x2 的值,恰好使所有的 ( x1 , x2 ) 位于给定的无差异曲线上。因此 x2 ( x1 ) 必须满足下列恒等式 u ( x1 , x2 ( x1 )) ≡ k , 其中,k 表示那条给定的无差异曲线标记的效用值。 63 曹乾(东南大学 [email protected]) 4 效用 上面的恒等式两端分别对 x1 微分,可得 ∂u ( x1 , x2 ) ∂u ( x1 , x2 ) ∂x2 ( x1 ) + = 0. ∂x1 ∂x1 ∂x2 注,在恒等式 u ( x1 , x2 ( x1 )) ≡ k 中, x1 出现在两个地方,因此, x1 的变动将对函数有双重 影响,我们必须在 x1 出现的地方都求导数。 在上面的微分等式中求出 ∂x2 ( x1 ) / ∂x1 ,可得 ∂x2 ( x1 ) ∂u ( x1 , x2 ) / ∂x1 =− , ∂x1 ∂u ( x1 , x2 ) / ∂x2 这个式子和第一种方法(微分法)得到的式子是一样的。 隐函数方法稍微严格些,但是微分法比较直接,在计算时小心些即可。 假设我们对某个效用函数进行单调变换,比如 v ( x1 , x2 ) = f (u ( x1 , x2 )) 。我们计算一下 该效用函数的 MRS。使用链式法则 MRS12 = − ∂v / ∂x1 ∂f / ∂u ∂u / ∂x1 =− ∂v / ∂x2 ∂f / ∂u ∂u / ∂x2 =− ∂u / ∂x1 ∂u / ∂x2 因为分子和分母中的 ∂f / ∂u 可以约去,这表明 MRS 不受单调变换的影响。 上面这一结论, 可以帮助我们识别不同效用函数代表的偏好是否相同: 给定两个效用函 数,只要分别计算边际替代率,看看它们是否相等。如果相等,那么这两个效用函数具有同 样的无差异曲线。 如果这两个效用函数的偏好增加的方向相同, 那么潜在的偏好必然是一样 的。 例子:柯布-道格拉斯偏好 使用上面推导出的式子,很容易就能计算出柯布-道格拉斯偏好的 MRS。 如果我们使用对数形式的表达式 u ( x1 , x2 ) = c ln x1 + d ln x2 , 则有 MRS12 = − ∂u ( x1 , x2 ) / ∂x1 ∂u ( x1 , x2 ) / ∂x2 =− c / x1 c x2 =− d / x2 d x1 注意,MRS 仅取决于两个参数(c 和 d)的比率以及两种商品的数量。 如果我们选取的是下列指数表达式,MRS 为多大? 64 曹乾(东南大学 [email protected]) 4 效用 u ( x1 , x2 ) = x1 x2 c d 计算 MRS 如下: MRS12 = − =− ∂u ( x1 , x2 ) / ∂x1 ∂u ( x1 , x2 ) / ∂x2 d cx1c −1 x2 cx =− 2 c d −1 dx1 x2 dx1 这个结果和前面的计算结果是一样的。当然,你自始至终都知道,单调转换不会改变边际替 代率! 复习题参考答案 1.课文中说,将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换。那么,将其变为它的偶次幂是单调 变换吗?(提示:要考虑类似 f (u ) = u 的情形。 ) 2 【复习内容】单调变换。 【解题思路】 作者范里安在教材中指出: “单调变换是将一组数字转换为另外一组数字的方法,这种方法 要保留转换前后数字的顺序不变。…单调变换和单调函...
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This note was uploaded on 05/24/2013 for the course EC 311 taught by Professor Staff during the Fall '08 term at University of Oregon.

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