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Teoria dos Grafos José de Oliveira Guimarães Departamento de Computação - UFSCar [email protected] 1 Introdução ................................................................................................................................................................... 2 1.1 Conceitos Básicos ................................................................................................................................................ 2 1.2 História ................................................................................................................................................................ 4 1.3 Aplicações de Teoria dos Grafos ......................................................................................................................... 4 1.4 Algoritmos de Busca ........................................................................................................................................... 6 1.5 Exercícios ............................................................................................................................................................ 8 2 Complexidade de Algoritmos ................................................................................................................................... 12 2.1 Exercícios .......................................................................................................................................................... 14 3 Indução Finita ........................................................................................................................................................... 16 3.1 Projeto de Algoritmos por Indução .................................................................................................................... 17 3.2 Problema da Celebridade ................................................................................................................................... 18 3.3 Exercícios .......................................................................................................................................................... 19 4 Estruturas de Dados para Grafos ............................................................................................................................... 21 4.1 Exercícios .......................................................................................................................................................... 21 5 Árvores ..................................................................................................................................................................... 22 5.1 Exercícios .......................................................................................................................................................... 23 6 Ordenação Topológica .............................................................................................................................................. 25 7 Conectividade, Caminhos e Ciclos ............................................................................................................................ 27 7.1 Ciclos ................................................................................................................................................................. 27 7.2 Uma Propriedade da Busca em Profundidade .................................................................................................... 29 7.3 Caminhos ........................................................................................................................................................... 30 7.4 Exercícios .......................................................................................................................................................... 32 8 Menor Caminho entre Vértices ................................................................................................................................. 34 9 Planaridade ................................................................................................................................................................ 37 9.1 Exercícios .......................................................................................................................................................... 40 10 Emparelhamento .................................................................................................................................................... 41 10.1 Exercícios ........................................................................................................................................................ 44 11 Fluxo em Redes ...................................................................................................................................................... 45 11.1 Exercícios: ....................................................................................................................................................... 48 12 Mais Aplicações Práticas de Teoria dos Grafos ...................................................................................................... 49 12.1 Data-Flow ........................................................................................................................................................ 49 12.2 Make ................................................................................................................................................................ 51 12.3 Eliminação de Código Morto ........................................................................................................................... 51 13 Compressão de Dados Algoritmo de Huffman .................................................................................................. 53 14 Árvore de Espalhamento de Custo Mínimo ............................................................................................................ 56 14.1 Exercícios ........................................................................................................................................................ 61 15 Coloração ................................................................................................................................................................ 62 15.1 Exercícios ........................................................................................................................................................ 64 16 Redução de Algoritmos .......................................................................................................................................... 65 16.1 Problema da Satisfabilidade ............................................................................................................................. 66 16.2 Exercícios ...................................................................................................................................................... 68 1
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1 Introdução 1.1 Conceitos Básicos Um grafo G = (V, E) é um conjunto V de vértices e um conjunto E de arestas (edges em Inglês) onde cada aresta é um par de vértices (Ex.: (v, w)). Um grafo é representado graficamente usando bolinhas para vértices e retas ou curvas para arestas. Exemplo: a b c d e f Este grafo possui V = { a, b, c, d, e, f } e E = { (a, b), (b, c), (b, e), (c, e), (c, d), (d, f) } onde (a, b) é uma aresta entre vértice a e b. Normalmente, arestas do tipo (a, a) não são permitidas. Um grafo pode ser dirigido ou não dirigido. Em um grafo dirigido, a ordem entre os vértices de uma aresta (v, w) é importante. Esta aresta é diferente da aresta (w, v) e é representada com uma flecha de v para w: v w V = { v, w, z } E = { (v, w), (v, z), (w, z) } z Em um grafo não dirigido, (v, w) = (w, v). Um caminho (path) é uma seqüência de vértices v 1 , v 2 , …, v n conectados por arestas (v 1 , v 2 ), (v 2 , v 3 ), … (v n - 1 , v n ). As arestas são também consideradas como parte do caminho. Ex.: v x caminhos: v, x, w, y z v, x w y, w, z y Um circuito é um caminho onde v 1 = v n , como b, c, d, e, f, d, b. a • • b e d c f 2
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Um circuito será simples se nenhum vértice aparecer mais de uma vez, exceto o primeiro e o último. Um circuito simples é chamado de ciclo . Definição : Dado um grafo, dizemos que vértice v é adjacente a vértice w (ou aresta E) se existe aresta (v, w) no grafo (ou e = (v, w)). Definição : Um grafo é conectado se existe um caminho entre dois vértices quaisquer do grafo. Definição : Dígrafo é um grafo dirigido. Definição : O grau de um vértice é o número de arestas adjacentes a ele. Em um grafo dirigido, o grau de entrada de um vértice v é o número de arestas (w, v) e o grau de saída é o número de arestas (v, w). Exemplo: v v possui grau de entrada 2 e grau de saída 1.
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