7.3ShellMethod - 7.3Volume:TheShellMethod .Ifthe , .Consideron

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Chapter 7 – Applications of Integration 7.3 Volume:  The Shell MethodAnother method used to find the volume of a solid of revolution is the shell method.  If the rectangular element is parallel to the axis of revolution, the rotation of this element about the axis of revolution forms a “shell”.  Consider one of these “shells”; when taken apart, it forms a rectangle whose dimensions are 2rπ (the “length” of the stretched out circular base) and h (the height of the rectangular element).  Thus, the volume of the ith shell, iV, is iV220d ∆=(area of the rectangle) times (thickness of the shell)=(29(292iiirhxπ or (29(292iiirhyπ.  Therefore, (baVxfx dxπ= or (292dcVyfy dyπ=.Def:  Let (29fx be continuous and nonnegative on [],0a bab220d.  The volume of the solid of revolution generated by revolving the region bounded by (29yfx=xa=xb=, and the x-about the y-axis is (29baVxfx dxπ=.  **Def:  Analogously, let (29gy be continuous and nonnegative on [],0c dcd220d.  The volume of the solid of revolution generated by revolving the region bounded by (29xgy=yc=yd=, and the y-axis about the x-axis is (29dcVyfy dyπ=.  **Notes:1.  The regions described in both definitions above lie specifically in QI.  This is very restrictive.2.  In the disk/washer method, the rectangular element is perpendicular to the axis of revolution. 29 2 axis  2 2

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