8.5PartialFractions - 8.5PartialFractions Introduction p x...

This preview shows page 1 - 2 out of 5 pages.

Chapter 8 – Integration Techniques 8.5 Partial Fractions Introduction To integrate integrals of the form  ( 29 ( 29 p x dx q x  where both  ( 29 p x  and  ( 29 q x  are polynomials  ( 29 0 q x 220d , express the integrand as the sum of partial fractions; i. e. decompose the rational fraction  ( 29 ( 29 p x q x  using  the following procedure: 1.  if  ( 29 ( 29 p x q x  is an improper rational fraction, then long divide the numerator  ( 29 p x  by the denominator  ( 29 q x  and express the integrand as a mixed fraction; 2.  if  ( 29 ( 29 p x q x  is a proper rational fraction, then decompose  ( 29 ( 29 p x q x  into the sum of partial fractions. Notes: 1.   ( 29 ( 29 p x q x  is an improper rational fraction when the degree of  ( 29 p x  the degree of  ( 29 q x . 2.  The method of partial fractions applies to proper rational fractions only. 3.  When  ( 29 ( 29 p x q x  is a proper rational fraction, factor the denominator  ( 29 q x  into the product of linear  factors and irreducible quadratic factors over  R ; i. e. factor over the set of real numbers. Examples: 1.  The fraction  4 3 2 2 4 9 24 4 x x x x x x - + - - -  is an improper rational fraction because the degree of the  numerator (4)   the degree of the denominator (2).  Thus long divide  4 3 2 4 9 24 x x x x - + - -  by  2 4 x x -   and get  2 2 5 24 1 4 x x x x + + - - .  We would then integrate  2 2 5 24 1 4 x x x x + + - -  using the method of partial fractions  after factoring the denominator  2 4 x x -  into  ( 29 4 x x - .  This denominator is the product of two linear  factors  x  and  ( 29 4 x - . 2.  The fraction  ( 29 2 3 4 15 17 1 x x x - + -  is a proper rational fraction (the degree of the numerator < the degree of  the denominator.  The denominator is already in factored form; it contains the linear factor  ( 29 1 x -  as a  factor 3 times. 3.  The fraction  2 2 1 5 x x + -  is a proper rational fraction.  Factor the denominator into  ( 29 ( 29 5 5 x x - +  since  denominators must be factored over the set of real numbers.  4.  The fraction  ( 29 2 2 1 1 x x +  is a proper rational fraction whose denominator is already in factored form. 

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture