element hydrogéologie souterraine

020 mm 210 6 ms 02 mj 3 dbit souterrain qab traversant

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Unformatted text preview: u'une série à termes positifs telle que Σs(n) converge si et seulement si Σs(n) est majorée ∀n - mais ceci n'est pas utile ici. 3. On sait qu'une série à termes positifs telle que Σs(n) converge si le rapport s(n+1)/s(n) satisfait le critère de D'ALEMBERT : s(n+1)/s(n) ≤ r < 1 à partir d'un certain entier n0 (donc pour n≥n0), ou encore (plus facile) si la limite n→∞ satisfait: lim s(n+1)/s(n) < 1. 4. Or il est clair que nous avons ici lim s(n-1)/s(n) = 1 quand n→∞, ce qui n'est pas une condition suffisante de convergence. Il faudrait donc s'attacher à analyser plutôt le critère s(n+1)/s(n) ≤ r < 1. 5. Une autre approche possible, plus simple ici, est d'utiliser le critère de majoration suivant : si Σb(n) est une série convergente et si a(n) ≤ b(n) (∀n≥n0), alors la série Σa(n) est convergente.1 6. Ici nous avons s(n) ≤ 1/(2n+1)2 et nous devons donc considérer la série Σ 1/(2n+1)2 : est-elle convergente ? Oui, on peut le montrer (…).2 7. On a donc convergence absolue de la série S = Σ s(n). 1 On garde partout les valeurs absolues pour montrer qu'on étudie les séries à termes positifs et/ou qu'on cherche à démontrer si possible la convergence absolue - démarche que nous avons choisie ici. 2 On sait que la série puissance Σ 1/nw diverge fortement pour un exposant w ≤ 1 et converge pour w > 1. 215 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU Constatations empiriques De plus, on constate que les termes successifs s(n) de la série S sont fortement décroissants en valeur absolue, puisque s(n) ≤ 1/(2n+1)2 ∀(x,z). Les valeurs numériques du terme majorant sont : Terme n = 0 : s(0) ≤ 1 Terme n = 1 : s(1) ≤ 1/9 Terme n = 2 : s(2) ≤ 1/25 Terme n = 3 : s(3) ≤ 1/49 …. Terme n = 32 : s(32) ≤ 1/4225 …. Tout ce qui précède nous incite à approcher la solution en série par les premiers termes. On vérifiera en particulier, par comparaison directe de la solution H(x,z) tronquée à différents ordres, que le tout premi...
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