element hydrogéologie souterraine

Ababou corrige brivement on ne demandait ici quun

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Unformatted text preview: aquifère ? 4. Application numérique : calculer le rayon d'action, et le débit permettant d'atteindre un rabattement de 0.5 m au puits. Données : tP = 1 j; K = 50 m/j; C = 0.20; rW = 10 cm; h0 ≈ 4m. 194 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU CORRIGÉ On considère la solution du pompage en régime quasi-permanent dans une nappe libre, traitée dans le polycopié [cf. Corrigé du "Problème I : Pompage et transferts de polluants…": éqs (4*a)-(4*b)]. 1) Retrouver (démontrer) la solution donnant la hauteur d'eau "h" en fonction de la distance "r" au puits de pompage (en détaillant le calcul et en suivant les indications du polycopié). z Q sw s(r) ho h(r) r r 195 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU (i) Conservation de masse sur le cylindre de rayon r et de hauteur h(r) : 2 π qr r h(r) = - Q (ii) [par convention, on prend un débit d'extraction Q > 0] Loi de Darcy en coordonnées cylindriques : q = − K ∇H q − K ∂h / ∂r ⇒ r= d'où 0 qθ qr = − K ∂h / ∂r , en notant que H = h + ZP = h car le plancher P est plan et horizontal (prendre ZP=0). (iii) En combinant (i) et (ii)…on obtient l'éq. d'écoulement vers le puits : − 2πrKh ∂h / ∂r = − Q 196 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU (iv) Solution de l’équation par intégration directe . En utilisant 2h dh/dr = d(h2)/dr et en intégrant sur [r,∞[, c'est-à-dire de h=h(r) à h=h0, on obtient : 2 h0 − h (r ) 2 Q R0 2 2 Q R0 ln . = ln , d'où, au puits (r = rW) : h0 − hW = πK rW πK r En soustrayant les deux formules précédentes, puis en formant leur rapport, on obtient alors finalement les formules [4a*-4b*] du polycopié, soit : 2 2 2 ln (r / rw ) h (r )2 − hW = h0 − hW (a) : ln (R0 / rw ) ( (b) : ) 2 (h02 − hW ) Q = πK ln (R0 / rw ) 197 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU 2) De même, expliquer pourquoi et comment l'hypothèse de faibles rabattements (s(r)<<ho) conduit à la solution s (r) linéarisée donnée pa...
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