element hydrogéologie souterraine

Element hydrogéologie souterraine

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Unformatted text preview: (2n + 1)π z / L } x x. (2n + 1)2 cosh{(2n + 1)π Lz / Lx } n =0 ∑ 212 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU Remarque 1 - adimensionalisation : Noter que la solution H(x,z) ci-dessus peut se ré-écrire de façon plus compacte en adimensionnalisant les variables comme suit : X x/Lx , Z z/Lz , Φ H/Lx , et en introduisant comme paramètre géométrique le rapport d'aspect : a = Lz / Lx . Remarque 2 - gradient hydraulique global : Rappelons la condition limite à la surface du massif géologique : z= Lz : H(x,Lz) = Lz + x tg(α). On voit donc que le gradient hydraulique global à la surface du massif est, pour la composante horizontale : Jx = - dH/dx = - tg(α). 213 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU Solution analytique approchée (terme dominant de la série) Appelons S la série infinie de l'équation précédente, et posons : S (N ) = n= N ∑ n=0 cos{(2n + 1)π x / Lx }× cosh{(2n + 1)π z / Lx } (2n + 1) 2 cosh{(2n + 1)π Lz / Lx } = n= N ∑ s(n ) . n=0 Ceci définit à la fois la suite s(n) et la série partielle S(N) formée à partir de s(n). Si la série converge (ponctuellement ou uniformément), on écrit alors : S = lim S ( N ) lorsque N → ∞. et : H ( x, z ) = Lz + 1 4 Lx tg (α ) − 2 Lx tg (α ) × S ( x, z ). 2 π On constate maintenant que, z étant dans l'intervalle [0, Lz], le cosinus hyperbolique qui apparaît au numérateur a comme borne supérieure cosh((2n+1)πLz/Lx). On a donc : 1 ∀( x, z ) : s(n ) ≤ (2n + 1)2 . Raisonnons « par point » -- étudions la convergence « ponctuelle » de S(n) pour (x,z) fixé. 214 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU Convergence ponctuelle. 1. On sait que si Σs(n) converge alors Σ s(n) converge, et la série Σ s(n) est dans ce cas à la fois "convergente" et "absolument convergente" (en général, une série dont les termes ne sont pas tous positifs peut très bien être convergente sans être absolument convergente). Examinons donc les propriétés de la série Σs(n) qui est à termes positifs. 2. On sait q...
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This document was uploaded on 01/21/2014.

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