element hydrogéologie souterraine

On traitera dabord le cas gnral des deux gomtries

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Unformatted text preview: l imposé : H(x,z) = h , ∀ (x,z) ∈ M1M3 La face M1M3 est sur la droite : dz/dx = 1 ⇒ z = x+h. On en déduit que la C-L s'écrit : H(x,z) = h pour z = x+h et ∀ x ∈ [-h,0]. C-Limite sur la face avale (M1M2): C'est une C-L de suintement : p(x,z) = pATM ⇒ H = z , ∀ (x,z) ∈ M1M2 La face M1M2 est sur la droite : dz/dx = -1 ⇒ z = h-x. On en déduit que la C-L s'écrit : H(x,z) = z pour z = h-x et ∀ x ∈ [0,+h]. La face amont M1M3 est une isopotentielle ⇒ flux entrant ⊥ à M1M3, d'où : ∀ (x,z) ∈ M1M3 : q • M 3M1 = 0 q X h ⇒ • = 0 ⇒ q Z h q X + qZ = 0 . En tenant compte des relations précédentes, cela donne: q X + q Z = (a1 x + c1 ) + (− a1 z ) = 0 , et en introduisant z=x+h ⇒ c1 = a1h . 251 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU Récapitulation - on peut maintenant écrire le vecteur q comme suit : q a ( x + h ) q= X= 1 q Z - a1 z [Il reste une seule constante "a1" à déterminer]. Pour obtenir la dernière constante, on peut intégrer la composante horizontale du flux (qX) le long de la base horizontale M3M2, qui est une ligne de courant : On veut donc intègrer le flux qX = -K ∂H/∂x depuis M3 (x = -h) jusqu'à M2 (x = +h). On sait que qX = a1.(x+h) sur M2M3 (et partout ailleurs aussi). On sait que H = h au point base amont M3. On sait que H = z = 0 au point base aval M2. K a1 = En intégrant de x=-h à x=+h on obtient donc : 2a1 h = -K.(0-h) ⇒ 2h . 2 On a donc enfin complètement déterminé q(x,z) : K x +1 q X 2 h q= = [Champ de vecteur "vitesse de Darcy" (densité de flux)]. q Z - K z 2h 252 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 5 ANNEXSS R. ABABOU On peut enfin déterminer H(x,z) par intégration de Grad H, ce qui permet de représenter les isopotentielles H(x,z)=constante pour visualiser l’écoulement (cf. question suivante): ∂H − 1 x + 1 ∂x 2 h 1 gradH = − q ⇒ ∂H = 1 z K + ∂z 2 h x2 x −. Intégration de ∂H/∂x ⇒ H(x,z) = H( 0,z) − 4h 2 z2 . Intégration de ∂H/∂z ⇒ H(x,z) = H(x,0 ) + 4h z2 − x2 x − Combinaison de ces deux résultats ⇒ H(x,z) = H( 0 ,0 ) + 4h 2 Enfin...
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