element hydrogéologie souterraine

G production deau lors du creusement dune cavit ou

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Unformatted text preview: NSTRUCTION) 113 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 2 MILIEUX POREUX R. ABABOU 2.3.3. Equations locales d'écoulements en MP. Résumé: Développement des équations locales d'écoulements en milieux poreux 3D à partir de lois de conservation et de la loi de Darcy (cas des milieux saturés compressibles ou non, et cas des milieux non saturés). Noter que les équations développées ici sont "locales" dans le sens où elles s'appliquent ponctuellement en tout point de l'espace 3D (partout où le milieu et les variables d'état sont continus). Nous formulons d’abord le principe de conservation de masse ou encore (pour un fluide faiblement compressible tel que l'eau) la conversation du volume fluide ; puis nous utilisons la loi de Darcy qui donne la relation entre flux et gradient de pression. 114 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 2 MILIEUX POREUX R. ABABOU 2.3.3.1 Conservation de masse La quantité à conserver étant la masse, et le milieux poreux étant généralement insaturé, la masse du fluide s'écrit, pour tout volume de contrôle Ω : (1) Masse Μ (t ) = ∫ ρθ dω (x ) . x∈Ω 115 ELEMENTS D'HYDROLOGIE SOUTERRAINE – CHAPITRE 2 MILIEUX POREUX R. ABABOU Dans l'intégrale de masse, ρ représente la masse volumique de l'eau, θ(x) la teneur en eau volumique, dω un élément de volume et x ∈ IR3 . Si le milieu est saturé, prendre θ = φ (porosité). L'équation globale de conservation de masse sans termes sources massiques est: (2) dΜ =0 dt , où d•/dt représente la dérivée matérielle, en suivant le mouvement du fluide. En insérant l'intégrale (1) dans (2), on obtient après calculs (…) 1 : (3) dΜ = dt ∫ x∈Ω ∂( ρθ ) dω (x ) − ∂t ∫ ρθ (V • n(x ))dσ (x ) x∈Σ = 0 (dM/dt en kg/s) où Σ représente la surface (frontière) du volume Ω, dσ(x) un élément de surface en tout point frontière x ∈ Σ, V(x,t) le champ de vitesse du fluide, et n(x) la normale extérieure en tout point de la frontière du domaine considéré. NB : il y a un signe (-) devant la seconde intégrale car n est une normale extérieure : on aurait par contre un signe (+) si la normale était intérieure. ∂( ρθ...
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