11-08 math - Notation and Equations for ANOVA Lecture 11/8...

Notation’and’Equations’for’ ANOVA’ Lecture’
11/8’
’
Notation:’
k :’The’number’of’groups;’the’number’of’levels’of’the’independent’variable’in’an’ANOVA ’
M
i
:’The’sample’mean’of’Group’ i .’The’subscript’ i ’ represents’any’number’from’1’through’ k .’
μ
i
:’The’population’mean’for’Group’ i
n
i
:’The’number’of’data’(e.g.,’subjects)’in’Group’ i
M
:’The’grand’mean,’i.e.’the’mean’of’all’the’data’in’all’groups’taken’together ’
SS
total
:’The’total’variability’in’the’data,’combining’all’groups ’
SS
treatment
:’The’variability’explainable’by’differences’among’groups ’
SS
residual
:’The’variability ’ within’groups, ’ not’explainable’by’differences’among’groups ’
MS
treatment
:’The’mean’square’for’the’treatment;’ SS
treatment
’ converted’to’a’mean ’
MS
residual
:’The’re sidual’mean’square’for’the’treatment;’ SS
residual
’ converted’to’a’mean ’
df
total
:’The’total’degrees’of’freedom’in’the’data;’ df ’ for’ SS
total
’
df
treatment
:’The’degrees’of’freedom’for’ SS
treatment
’ and’ MS
treatment
’
df
residual
:’The’degrees’of’freedom’for’ SS
residual
’ and’ MS
residual
’
F :’The’test’statistic’for’ANOVA ’
Intuitive’explanation’of’ANOVA .’The’following’explanation’is’only’to’help’you’understand’
how’ANOVA’works.’You’don±t’need’to’memorize’any’of’the’formulas. ’
The’goal’of’ANOVA’is’to’decide’whether’several’grou ps’have’the’same’mean.’The’null’
hypothesis’states’that’the’population’means’are’all’equal:’ μ
1
’ =’ μ
2
’ =’…’=’ μ
k
.’ This’is’
essentially’the’same’as’stating’that’all’the’populations’are’the’same,’i.e.’that’all’the’data’
come’from’a’single’population.’ ’ In’other’wo rds,’ the’ groups’are’all’replications’of’each’
other.’Even’if’this’is’true,’the’sample’means’won±t’all’be’the’same,’because’of’sampling’
variability.’The’question’is’how’much’the’sample’means’should’vary,’just’by’chance .’
According’ to’ the’null’hypothesis,’ the’ sample’means’are’the’result’of’drawing’one’sample,’
calculating’its’mean,’then’drawing’another’sample’from’the’same’population’and’
calculating’its’mean,’and’so’on. ’ ’ This’process’is’exactly’how’the’sampling’distribution’of’the’
mean’is’defined.’Therefore ,’if’the’null’hypothesis’is’correct,’then’ the’ set’of’sample’means’
should’be’consistent’with’the’sampling’distribution’for’ the’mean’(from’a’single’
population).’In’particular,’the’variance’of’the’sample’means’should’be’no’bigger’than’the’