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hw 02 solution - 1 Catalin Constantinide PHYS 600 PROBLEM 1...

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CatalinConstantinide PHYS600 0 HW2SOLUTIONS PROBLEM # 1 # + a / # let # A ¡ A i e i ¡ , B ¡ C i e i ¡ , A ¡ C i e i ¡ , D ¡ D i e i ¡ .Thecrossproduct of 2vectors isthen : A ¡ l B ¡ H ijk # e i ¡ # A j # B k .We' # ll # use # the # identity #H ijk #H ilm G jl G km 0G jm G kl - A ¡ l B ¡ 1 . - C ¡ l D ¡ 1 H ijk A j B k #H ilm # C l D m + G jl G km jm G kl / # A j B k # C l D m A j B k C j D k 0 A j B k C k D j - A ¡ . C ¡ 1 # - B ¡ . D ¡ 1 0 - B ¡ . C ¡ 1 # - A ¡ . D ¡ 1 + b / ´ ¡ l - A ¡ l B ¡ 1 e i ¡ H ijk ¢ j - A ¡ l B ¡ 1 k e i ¡ H ijk ¢ j H klm A l B m + G il G jm im G jl / e i ¡ ¢ j + A l B m / e i ¡ ¢ j + A i B j 0 A j B i / e i ¡ # A i ¢ j B j . e i ¡ # B j ¢ j A i 0 e i ¡ B i ¢ j A j 0 e i ¡ # A j ¢ j B i - ´ ¡ . B ¡ 1 # A ¡ . - B ¡ . ´ ¡ 1 # A ¡ 0 - ´ ¡ . A ¡ 1 # B ¡ 0 - A ¡ . ´ ¡ 1 # B ¡ + c /- ´ ¡ l A ¡ 1 . - ´ ¡ #l B ¡ 1 H ijk # + ¢ j A k / #H ilm + ¢ l B m / + G jl G km jm G kl / # + ¢ j A k / # + ¢ l B m / + ¢ j A k / # + ¢ j B k k B j / 1 ccccc 2 # + ¢ j A k k A j / # + ¢ j B k k B j / 1 ccccc 2 # A jk # B jk For any vector V ¡ , the antisymmetrictensor V jk being defined by : V jk £¢ j V k k V j PROBLEM # 2 # Showthat B ¡ ´ ¡ A ¡ ¡ . B ¡ 0 w if B ¡ ´ ¡ A ¡ then ´ ¡ . B ¡ ´ ¡ . - ´ ¡ A ¡ 1 ¢ i H ijk ¢ j A k 0because H ijk isantisymmetricin i , j while ¢ i ¢ j issymmetric u if ´ ¡ . B ¡ 0 # i . e . ¢ x B x y B y z B z 0wetrytofind a vector field A ¡ A x e x ¡ . A y e y ¡ suchthat B ¡ ´ ¡ A ¡ e x ¡ + z A y / . e y ¡ + ¢ z A x / . e z ¡ + ¢ x A y y A x / z A y B x Á A y 0 Ã z 0 z # B x
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