0 0 0 0 i2 mn a la cadena ascendente

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Unformatted text preview: , es decir, F como K -espacio es de dimensi´n o o infinita (por ejemplo, F = R, K = Q). Sea S := k f1 0 f2 | k ∈ K, f1 , f2 ∈ F . N´tese que S es un anillo (ya que es subanillo de M2 (F )). Sea {xi }i∈N un conjunto o infinito ennumerable de elementos de F linealmente independientes sobre K . Sea 14 CAP´ ITULO 1. CONDICIONES DE CADENA si := 0 xi , i ∈ N. 00 Entonces, k f1 0 f2 si = 0 kxi 00 y as´ el ideal izquierdo generado por si es de la forma ı, 0 kxi . 00 si } = Ssi = Resultan las siguientes cadenas ascendente y descendente de ideales izquierdos de S que no se estabilizan: Ss1 S s1 + Ss2 · · · ∞ ∞ ··· i=1 Ssi i=2 Ssi Probaremos ahora que SS es de longitud finita: vemos inicialmente la forma que toma el producto de dos elementos de S , h a1 0 a2 k f1 0 f2 = hk t , donde t = hf1 + a1 f2 . 0 a2 f2 Sean A1 := 01 00 S= 0F 00 , A2 := 00 01 S= 00 0F . Entonces, los ideales derechos A1 , A2 son simples (ya que F es un cuerpo), adem´s, a A1 ∩ A2 = 0; (A1 + A2 ) /A1 ∼ A2 es...
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