se quiere probar que nn nni para i 1 2

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Unformatted text preview: (j −1 (Qi0 )), es ı decir, Qi = Qi0 . (ii)⇒(iii) Sea N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ · · · una cadena descendente de subm´dulos de M o y sea j : M −→ M/N el epimorfismo can´nico. Sean Γ := {Ni | i = 1, 2, · · · }, o j (Γ) = {j (Ni ) | i = 1, 2, · · · }, ΓN := {Ni ∩ N | i = 1, 2, · · · }. Claramente estos conjuntos no son vac´ entonces en j (Γ) y ΓN hay elementos minimales, digamos j (Nl ) ıos, y Nm ∩ N . Sea n := m´x (l, m), entonces a 1.1. CONDICIONES DE NOETHER Y ARTIN 3 j (Nn ) = j (Nn+i ), Nn ∩ N = Nn+i ∩ N , i = 1, 2, . . . Se quiere probar que Nn = Nn+i , para i = 1, 2, . . . . De j (Nn ) = j (Nn+i ) resulta j −1 (j (Nn )) = j −1 (j (Nn+i )) Nn + N = Nn+i + N (Nn + N ) ∩ Nn = (Nn+i + N ) ∩ Nn Nn = Nn+i + (N ∩ Nn ) = Nn+i + (Nn+i ∩ N ) = Nn+i . (iii)⇒(i) Sup´ngase que M no es artiniano. Existe entonces un conjunto no vac´ o ıo Γ de subm´dulos de M que no contiene elemento minimal. Para cada N ∈ Γ existe o N ∈ Γ tal que N N . Por el axioma de elecci´n, podemos asignar a cada N un o N . Sea N0 un elemento c...
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