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Unformatted text preview: te y v´lida para cada ideal bil´tero propio. o a a ⇐) ab = 1 = ba, ab − 1 ∈ I , ab ∈ 1 + Rad (A), ab ∈ A∗ , a (bc) = 1, con c ∈ A; an´logamente, ba ∈ A∗ y existe d ∈ A tal que (db) a = 1; resulta as´ que a es a ı invertible a izquierda y a derecha, es decir, a ∈ A∗ . Ejemplo 7.1.7. (i) Sea A Entonces, f −→ B un homomorfismo sobreyectivo de anillos. f (Rad (A)) ⊆ Rad (B ) . En efecto, si b ∈ f (Rad (A)), entonces b = f (a), con a ∈ Rad (A) y existe x ∈ A tal que (1 + a) x = x (1 + a) = 1; aplicando f obtenemos (1 + b) f (x) = f (x) (1 + b) = 1, es decir, 1 + b es invertible; seg´n el corolario 7.1.5, b ∈ Rad (B ). La hip´tesis de u o sobreyectividad se utiliz´ para garantizar que f (Rad (A)) sea un ideal derecho de o B. (ii) Para cada anillo no trivial A, Rad (A) = A. En caso contrario, (1 − 1) = 0 ∈ A∗ . Como consecuencia, si A es un anillo simple, entonces Rad (A) = 0. En particular, para todo anillo de divisi´n T , Rad (T ) = 0; o por ejemplo, Rad (Q) = Rad (R) = Rad (C) = Rad (H) = 0. H es el ani...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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