gn un grupo nito k un cuerpo y a k g el lgebra

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Unformatted text preview: un A-m´dulo semisimple es semisimple. o (iii) La suma de subm´dulos semisimples es semisimple. Tambi´n, la suma directa o e externa de semisimples es semisimple. (iv) La descomposici´n de un A-m´dulo semisimple en suma directa de subm´dulos o o o simples es unica en el sentido del teorema de Krull-Schmidt. ´ Demostraci´n. (i) Consecuencia directa del teorema 5.1.1. o f (ii) Sean M − N un homomorfismo sobreyectivo y N0 ≤ N ; entonces f −1 (N0 ) ≤ → M y existe M0 ≤ M tal que M = f −1 (N0 ) ⊕ M0 . Afirmamos que N = N0 ⊕ f (M0 ). En efecto, N = f (M ) = f (f −1 (N0 ) + M0 ) = f (f −1 (N0 )) + f (M0 ) = N0 + f (M0 ); 48 ´ CAP´ ITULO 5. ANILLOS Y MODULOS SEMISIMPLES si n ∈ N0 ∩ f (M0 ) entonces n = f (m0 ) con m0 ∈ M0 ∩ f −1 (N0 ); esto implica que m0 = 0 y n = 0. (iii) La primera afirmaci´n es evidente. Para la segunda notemos que una suma o directa externa se puede ver como una suma directa interna. (iv) Esto es consecuencia del lema de Schur que afirma que el anillo de endomorfismos de un m´dulo simpl...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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