mr cada generador mj puede expresarse en la forma mj

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Unformatted text preview: ea M := i=1 Mi . Existe J ⊆ I , con card(J ) = card(N), sea N := i∈J Mi ≤ M . Entonces, N = ∞ ⊕Mi , Mi ∼ Mi , = i=1 ∞ ∞ ··· i=1 ⊕Mi i=2 ⊕Mi no se detiene, y de igual manera M1 M1 ⊕ M2 · · · no se detiene. Otra consecuencia interesante de la proposici´n 1.1.2 es la siguiente propiedad. o Proposici´n 1.1.5. Sea M un A-m´dulo. M es noetheriano si, y s´lo si, cada o o o subm´dulo de M es finitamente generado. o 5 ´ 1.2. CADENAS DE SUBMODULOS Demostraci´n. ⇒) Sea N ≤ M y consideremos la colecci´n de subm´dulos c´ o o o ıclicos {{n | n ∈ N }. Seg´n la parte (b) de la Proposici´n 1.1.2, existe un conjunto finito u o {ni }k=1 de elementos de N tal que n∈N {n = k=1 {ni , es decir, N es finitamente i i generado. ⇐) Sea {Ni }i∈I una colecci´n no vac´ de subm´dulos de M . El subm´dulo o ıa o o o i∈I Ni es por hip´tesis finitamente generado, digamos i∈I Ni = {m1 , . . . , mr . Cada generador mj puede expresarse en la forma mj = nij1 + · · · + nijkj , nijl ∈...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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