10 sea g un grupo abeliano demuestre que las

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Unformatted text preview: rn , respectivamente. e Consideremos dos casos. Caso 1. x ∈ P . Entonces P = r1 , . . . ., rn , x . En efecto, sea g una serie de P , con g = g0 + g1 x + g2 x2 + · · · = g0 + x(g1 + g2 x + · · · ), entonces g0 ∈ P0 , luego g0 = r1 r1 + · · · + rn rn . En consecuencia, g = r1 r1 + · · · + rn rn + x(g1 + g2 x + · · · ) ∈ r1 , . . . , rn , x . Rec´ ıprocamente, sea g ∈ r1 , . . . , rn , x , entonces existen series s1 , . . . , sn , s ∈ R[[x]] tales que g = s1 r1 + · · · + sn rn + xs= s1 (f1 − x(serie)) + · · · + sn (fn − x(serie))) + xs, de donde g = s1 f1 + · · · + sn fn + x(serie) ∈ P . Caso 2. x ∈ P . Entonces P = f1 , . . . , fn . En efecto, es claro que f1 , . . . , fn ⊆ / P . Sea g un elemento de P con t´rmino constante g0 , en este caso podemos escribir e (0) (0) (0) (0) (0) g0 = a1 r1 + · · · + an rn , con ai ∈ R. Por tanto, g − (a1 f1 + · · · + an fn ) tiene t´rmino constante nulo, luego es de la forma xg1 para alg´n g1 ...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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