11 14 el teorema de la base de hilbert 14 el teorema

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Unformatted text preview: dimensi´n n con base o n X = {x1 , · · · , xn }. Entonces, 0 x1 · K x1 · K ⊕ x2 · K · · · i=1 ⊕xi · K = V es una cadena de composici´n de V , y adem´s long (V ) = n. o a A continuaci´n mostraremos que para los m´dulos de longitud finita los endoo o morfismos inyectivos, los sobreyectivos y los automorfismos coinciden. N´tese que o esta propiedad la tienen los espacios vectoriales finito dimensionales. Proposici´n 1.3.4. Sean M un A-m´dulo y f : o o de M . Entonces, M −→ M un endomorfismo (i) Si M es artiniano, existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 se tiene M = Im (f n ) + ker (f n ). (ii) Si M es artiniano y f es inyectivo, entonces f es un automorfismo. (iii) Si M es noetheriano, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 se tiene 0 = Im (f n ) ∩ ker (f n ). (iv) Si M es noetheriano y f es sobreyectivo, entonces f es un automorfismo. (v) Si M es de longitud finita, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 se tiene M = Im (f n ) ⊕ ker...
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