12 consideramos el siguiente hecho ms general o a

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Unformatted text preview: muestre que HomR (M, N ) es semisimple. 7. Sean M un A-m´dulo y N ≤ M . Se dice que N es peque˜ o en M , lo cual se o n denota por N ≤◦ M , si para cada subm´dulo P de M se cumple o N + P = M ⇔ P = M. 53 5.3. EJERCICIOS Demuestre que N= N ≤◦ M N= N ≤M maximal ker (f ) f ∈HomA (M,N ) N semisimple (el subm´dulo M definido por cualquiera de estas tres formas se conoce como o el radical de Jacobson de M , y se denota por Rad (M )). 8. Sea M un A-m´dulo y N ≤ M . Se dice que N es grande en M , lo cual se o denota por N ≤∗ M , si para cada subm´dulo P de M se cumple o N ∩ P = 0 ⇔ P = 0. Demuestre que N= N ≤∗ M Im (f ) N= N ≤M minimal f ∈HomA (M,N ) N semisimple (El subm´dulo M definido por cualquiera de estas tres formas se conoce como o el s´calo de M , y se denota por Soc (M )). o 9. Considerando a Z, Q y Zm como Z-m´dulos, demuestre que o (i) Rad (Z) = 0, Soc (Z) = 0. (ii) Rad (Q) = Q, Soc (Q) = 0. (iii) Rad (Zm ) = s , con s = p1 · · · pt y m =...
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