13 y de que para cada 1 i n o ai es una imagen

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Unformatted text preview: simple. Se tiene entonces que 0 A1 = A1 + A2 S es una cadena de composici´n para SS . En efecto, resta s´lo demostrar o o que A1 + A2 es maximal en SS . Sea h a1 0 a2 ∈ A 1 + A2 , / entonces h = 0 y para B := A1 + A2 + se tiene h a1 0 a2 S 15 1.5. EJEMPLOS 0 0 0 1 − a2 + h a1 0 a2 h−1 −h−1 a1 0 1 = 10 01 ∈ B, es decir, B = S . (v) El anillo S del ejemplo anterior, considerado como S -m´dulo a izquierda, es o libre con base finita {1}, sin embargo, no es noetheriano ni artiniano. Oro ejemplo con estas mismas condiciones es el anillo de polinomios A[x] (v´ase el ejemplo 1.1.6). e (vi) Sea S como antes; S S es finitamente generado como S -m´dulo pero no es o noetheriano. Por tanto, en S S hay al menos un subm´dulo que no es finitamente o generado. (vii) A es noetheriano (artiniano) a derecha si, y s´lo si, Mn (A) es noetheriano o (artiniano) a derecha (desde luego la afirmaci´n tambi´n es v´lida a izquierda): o e a ⇒) Puesto que Mn (A) es un A-m´dulo finitamente generado, entonces Mn (A) o es noetheriano (artiniano) como A-m´dulo. Sea J un ideal derecho de Mn (A). Eno tonces, J es un A-su...
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