Cuaderno(6)

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Unformatted text preview: (f n ). (vi) Si M es de longitud finita, entonces f es un automorfismo si, y s´lo si, f es o inyectivo si, y s´lo si, f es sobreyectivo. o Demostraci´n. Notemos inicialmente que (v) y (vi) son consecuencias directas de o las primeras cuatro afirmaciones. Adem´s, (ii) es consecuencia de (i), y (iv) es cona e secuencia de (iii): en efecto, como f es inyectivo entonces f n es tambi´n inyectivo n n−1 n−1 (si x ∈ ker (f ), entonces f (f (x)) = 0, de donde f (x) = 0; continuando as´ encontramos que f (x) = 0 lo cual implica que x = 0). Resulta entonces que ı M = Im (f n ) ⊆ Im (f ) ⊆ M . La prueba de (iv) a partir de (iii) es similar. Probemos entonces (i) ((iii) queda como ejercicio para el lector). Puesto que Im (f ) ≥ Im (f 2 ) ≥ · · · debe existir n0 tal que para cada n ≥ n0 se cumple Im (f n0 ) = Im (f n ) = Im (f 2n ). Sea m ∈ M , entonces f n (m) ∈ Im (f 2n ) y existe m ∈ M tal que f n (m) = f 2n (m ); esto implica que f n (m − f n (m )) = 0, es decir, m − f n (m ) ∈ ker (f n...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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