15 o supongamos que i ii para los a mdulos no nulos m

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Unformatted text preview: A | 1 + ax es invertible a derecha para cada x ∈ A}. Sea a ∈ C y sup´ngase que existe I maximal derecho de A tal que a ∈ I , entonces I + aA = A o / y existen b ∈ I , x ∈ A tales que b + ax = 1, luego b = 1 − ax es invertible a derecha, lo cual contradice la condici´n de I . En consecuencia, a ∈ Rad (AA ) y C ⊆ Rad (AA ). o Rad (AA ) ⊆ C : sea a ∈ Rad (AA ) y sup´ngase que a ∈ C . Existe x ∈ A tal que o / (1 + ax) no es invertible a derecha, entonces (1 + ax) A = A y existe I maximal derecho tal que (1 + ax) A ⊆ I , es decir, (1 + ax) ∈ I , pero como a ∈ Rad (AA ) entonces ax ∈ I y obtenemos la contradicci´n 1 ∈ I . o ∗ (iii) Sea D := {a ∈ A | 1 + zax ∈ A para cualesquiera z, x ∈ A}. Es evidente que D ⊆ Rad (AA ). Rad (AA ) ⊆ D: sea a ∈ Rad (AA ), entonces zax ∈ Rad (AA ) para cualesquiera z, x ∈ A (ya que seg´n (i), Rad (AA ) es bil´tero). Seg´n (ii), 1+zax u a u es invertible a derecha, luego existe b ∈ A tal que (1 + zax) b = 1, b = 1 − zaxb,...
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