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Unformatted text preview: ⊕ Ck ⊕ C , con C ByM= 39 40 CAP´ ITULO 4. TEOREMA DE KRULL-SCHMIDT B1 ⊕ · · · ⊕ Bk ⊕ C1 ⊕ · · · ⊕ Ck ⊕ C ; pero se contradice la minimalidad de B . En total, B = 0 y M = B1 ⊕ · · · ⊕ Bk es suma directa de irreducibles no nulos. Consideremos ahora el caso en que M es noetheriano. Sea Γ la colecci´n de o sumandos directos propios de M ; Γ = ∅ y sea A0 un elemento maximal de Γ con M = A0 ⊕ B0 . Veamos que B0 es irreducible (y desde luego no nulo). Sup´ngase lo o contrario, entonces existen X, Y B0 , X, Y = 0 tales que B0 = X ⊕ Y . Resulta M = A0 ⊕ X ⊕ Y con A0 A0 + X M , en contradicci´n con la maximalidad de A0 . o Sea Θ el conjunto definido por: B ∈ Θ si, y s´lo si, B ≤ M , B es sumando directo o de M y B se puede descomponer en suma directa finita de subm´dulos irreducibles o no nulos. Notemos que Θ = ∅ ya que B0 ∈ Θ . Adem´s, cada B ∈ Θ es no nulo. Sea a N un maximal de Θ con M = N ⊕ N0 , N = B1 ⊕· · ·⊕ Bk , k ≥ 1, Bi = 0 irreducible, 1 ≤ i ≤...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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