4 anillos y algebras libres 35 es decir sobre gx se

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Unformatted text preview: monoide conmutativo M que consta de todos los monomios de la forma xk1 · · · xkn , 1 n con ki ∈ N, 1 ≤ i ≤ n; el producto en M est´ definido por a (xk1 · · · xkn )(xl1 · · · xln ) := xk1 +l1 · · · xkn +ln . 1 1 1 n n n El elemento neutro de M es el monomio 1 := x0 · · · x0 . Notemos entonces que para 1 n el habitual anillo de polinomios A[x1 , . . . , xn ] se tiene que A[x1 , . . . , xn ] ∼ A[M ]. = Este un isomorfismo de anillos y de A-m´dulos. o Ejemplo 3.3.2. Consideremos el ´lgebra de grupo K [G], donde K es un cuerpo a y G un grupo finito de orden n. Sea r := g∈G g . Claramente gr = r, para cada g ∈ G; nr := r + · · · + r = g1 r + · · · + gn r = (g1 + · · · + gn ) r = rr = r2 , es decir, nr = r2 . Si char (K ) | n, r2 = 0 y r es nilpotente (v´ase [11] para la caracter´ e ıstica 2 1 1 12 n 1 de un anillo). Si char (K ) n, entonces n ∈ K y n r = n2 r = n2 r = n r, es decir, 1 r es idempotente. n La construcci´n del anillo A[G] tiene la siguiente propiedad. o Proposici´n 3.3.3 (Propiedad universal). Sean A u...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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