41 o paso 3 como f x i y g x j i entonces h x

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Unformatted text preview: n 1.1.3, A o = es noetheriano a izquierda. ⇐) Seg´n la proposici´n 1.1.5, basta probar que cada ideal izquierdo no nulo I u o de A [x] es finitamente generado. Dividimos esta prueba en tres pasos. Paso 1. Si p(x) = p0 + p1 x + · · · + pn xn ∈ A [x], pn = 0, lc(p(x)) := pn es el coeficiente principal del polinomio p(x); el polinomio nulo tiene coeficiente principal nulo, v´ase [11]. Sea lc(I ) el conjunto de coeficientes principales de los polinomios e del ideal I , notemos que lc(I ) es un ideal izquierdo de A: sean a, b ∈ lc(I ), existen polinomios p1 (x) = axm + am−1 xm−1 + · · · + a0 ∈ I p2 (x) = bxn + bn−1 xn−1 + · · · + b0 ∈ I y entonces xn p1 (x) + xm p2 (x) ∈ I , as´ a + b ∈ lc(I ); si r ∈ A, entonces rp1 (x) ∈ I ı y ra ∈ lc(I ). Como A es noetheriano a izquierda entonces lc(I ) es finitamente generado, sea {a1 , . . . , ak } un sistema de generadores para lc(I ), ai = 0, 1 ≤ i ≤ k . Existen entonces polinomios pi (x) ∈ I tales que lc(pi (x)) = ai . A...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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