42 34 anillos y algebras libres 37 demostracin sea

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Unformatted text preview: es un anillo conmutativo, la R-´lgebra R{X } se denomina el ´lgebra libre a a sobre R en el alfabeto X . Proposici´n 3.4.1 (Propiedad universal). Sean A un anillo, X un conjunto no o vac´o y A{X } el anillo libre sobre A en el alfabeto X . Sea B un anillo con una ı funci´n θ : X → B y un homomorfismo de anillos θ : A → B de tal forma que o θ (a)θ(x) = θ(x)θ (a), para cada a ∈ A y x ∈ X . Entonces, existe un unico A-homomorfismo de anillos, θ : A{X } → B , tal que ´ θι = θ, donde ι : X → A{X } es la inclusi´n de X en A{X }: o ι X θ pp c© pp E A{X } pp pp pp θ B θ(a · x) := θ (a)θ(x), a ∈ A, x ∈ X. (3.4.1) Demostraci´n. Notemos que ι induce la inclusi´n de GX en A{X } = A[GX ], es decir, o o ι(x1 · · · xn ) := x1 · · · xn . De igual manera, θ induce un homomorfismo de monoides θ : GX → B , θ(x1 · · · xn ) := θ(x1 ) · · · θ(xn ). Notemos adem´s que por hip´tesis, para a o cada g ∈ GX y cada a ∈ A se tiene que θ (a...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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