44 con i xy 1 en efecto segn el ejemplo 3410 la

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: en el alfabeto X . Para cada Rı a a ´lgebra B y cada funci´n θ : X → B , existe un unico homomorfismo de R-´lgebras, o ´ a θ : R{X } → B , tal que θι = θ: X θ pp c© ι pp E R{X } pp pp pp θ B θ(r · x) := r · θ(x), r ∈ R, x ∈ X. (3.4.2) Demostraci´n. Para la R-´lgebra B se tiene el homomorfismo de anillos θ : R → B , o a θ (r) := r · 1. En efecto, θ (r + s) = (r + s) · 1 = r · 1 + s · 1 = θ (r) + θ (s), θ (rs) = (rs) · 1 = r · (s · 1) = r · (θ (s)) = r · (1θ (s)) = (r · 1)θ (s) = θ (r)θ (s), θ (1) = 1 · 1 = 1 (en realidad θ es un homomorfismo de R-´lgebras: θ (sr) = (sr) · 1 = a s · (r · 1) = s · θ (r)). Se tiene adem´s que θ (r)θ(x) = θ(x)θ (r) para cada r ∈ R y a cada x ∈ X : θ(x)θ (r) = θ(x)(r · 1) = r · (θ(x)1) = r · (1θ(x)) = (r · 1)θ(x) = θ (r)θ(x). La propiedad universal es entonces consecuencia de la proposici´n 3.4.1. Notemos o adem´s que θ(r · x) = θ (r)θ(x) = (r · 1)θ(x) = r · (1θ(x)) = r · θ(x), es decir, (3.4.2) a se cumple. El corolario anterior indica que para definir un homomorfismo de la R-´lgebra a l...
View Full Document

This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

Ask a homework question - tutors are online