5 sea i un ideal propio de un anillo conmutativo r

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Unformatted text preview: os razonamientos precedentes. (ix) Sean A un anillo local y J su ideal de elementos no invertibles. Entonces, J = Rad (A). En efecto, si a ∈ J , entonces a ∈ A∗ , pero 1 − a ∈ A∗ ; seg´n el / u corolario 7.1.5, a ∈ Rad (A). Rec´ ıprocamente, si a ∈ Rad (A), entonces a ∈ A∗ (en / caso contrario, Rad (A) = A lo cual ya vimos no es cierto), de donde a ∈ J . N´tese adem´s que o a A es local si, y s´lo si, A/Rad (A) es un anillo de divisi´n. o o ⇒) Se prob´ en el corolario 2.1.3. o ⇐) Sea a ∈ A, si a ∈ Rad (A), entonces 1 − a es invertible. Si a ∈ Rad (A), / ∗ ∗ a ∈ A .entonces ab = 1 = ba, con b ∈ A; seg´n el corolario 7.1.6, a ∈ A . u (x) Sea A un anillo. Entonces, Rad(A[[x]]) = {(ai )|a0 ∈ Rad(A)}. V´ase el ejemplo 2.2.1(viii). e Enunciamos y probamos a continuaci´n otro de los resultados cl´sicos de la teor´ o a ıa general de anillos y m´dulos. o Lema 7.1.8 (Lema de Nakayama). Sean M un A-m´dulo finitamente generado o e I un ideal derecho de A contenido en Rad (A). Entonces...
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