Adems aa y a a tienen la a misma longitud nita

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Unformatted text preview: J ∗ i∈J ∗ Sea u ∈ N y sup´ngase que u + mi1 + · · · + mik = 0 con {i1 , . . . , ik } ⊆ J ∗ . Como θ es o totalmente ordenado existe J ∈ θ tal que {i1 , . . . , ik } ⊆ J ; pero como θ ⊆ Γ entonces u = mi1 = · · · = mik = 0 y la suma N + i∈J ∗ Mi es directa. De acuerdo con el lema de Zorn, Γ tiene elemento maximal J0 . Sea M := N ⊕ i∈J0 ⊕Mi . Se quiere probar que M = M . Sea i0 ∈ I . Si i0 ∈ J0 , entonces Mi0 ⊆ M . Sea i0 ∈ I − J0 . N´tese que M + Mi0 = M ⊕ Mi0 , ya que de lo contrario J0 o J0 ∪ {i0 } ∈ Γ; entonces M ∩ Mi0 = 0. Pero como Mi0 es simple entonces M ∩ Mi0 = Mi0 , es decir, Mi0 ⊆ M . Resulta, M ⊆ M . (iv)⇒(i) Probemos inicialmente, bajo la suposici´n (iv), que cada subm´dulo o o no nulo N de M contiene un subm´dulo simple. Podemos suponer sin p´rdida de o e generalidad que N es finitamente generado (cada m´dulo N distinto de 0 contiene o un subm´dulo N tal que si N contiene un subm´dulo simple N , entonces N o o es subm´...
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This document was uploaded on 03/30/2014 for the course COM 01 at Universidad Nacional Autónoma de México.

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