Aplicando nuevamente la proposicin 112 obtenemos que

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Unformatted text preview: a derecha) y M es finitamente generado, entonces M es noetheriano (artiniano). (iii) Cada anillo cociente de un anillo noetheriano a derecha (artiniano a derecha) es un anillo noetheriano a derecha (artiniano a derecha). 4 CAP´ ITULO 1. CONDICIONES DE CADENA n Demostraci´n. (i) Sea M = o i=1 Ni , Ni ≤ M . La prueba se realiza por inducci´n sobre n. Para n = 1, la afirmaci´n es cierta por la hip´tesis. Ahora, si Ni es o o o − noetheriano (artiniano) para 1 ≤ i ≤ n − 1, entonces por inducci´n L := n=11 Ni es o i noetheriano (artiniano). Se tiene el isomorfismo M/Nn = (L + Nn ) /Nn ∼ L/L ∩ Nn . = Seg´n la proposici´n 1.1.2, L/L ∩ Nn es noetheriano (artiniano), es decir, M/Nn es u o noetheriano (artiniano). Aplicando nuevamente la proposici´n 1.1.2, obtenemos que o M es noetheriano (artiniano). (ii) Sea x1 , . . . , xn un sistema de generadores para M , es decir, M = n=1 xi · A; i para cada xi definimos fxi : A a −→ −→ xi · A x i · a, fxi es claramente un A-homomorfismo. Adem´s, A/ ker (fxi ) ∼ xi · A. Puesto que AA a = noetheriano...
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