As pues i0 i para cada ideal maximal derecho i de

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Unformatted text preview: o ⇒) Consecuencia del ejemplo (iii). ⇐) Sea I un ideal derecho de A1 ×· · ·× An ; I es de la forma I = I1 ×· · ·× In donde Ii es un ideal derecho de Ai , 1 ≤ i ≤ n; entonces Ai = Ii ⊕Ii , donde Ii es ideal derecho de Ai , 1 ≤ i ≤ n; n´tese entonces que A1 ×· · ·×An = (I1 × · · · × In )⊕(I1 × · · · × In ). o (vi) Todo anillo semisimple es artiniano (tambi´n noetheriano), pero no necesae riamente simple: la primera afirmaci´n es consecuencia de la proposici´n 5.1.5. Para o o la segunda tenemos Q × Q es semisimple (seg´n (v)), pero no es simple: 0 × Q, Q × 0 u son ideales bil´teros no triviales. a (vii) Para cada anillo A, A[x] no es semisimple. En caso contrario, ser´ artiniano. ıa De otra parte, seg´n la proposici´n 5.2.4, si A es semisimple, entonces A[x] es Au o semisimple. (viii) Los ejemplos (ii) y (vi) nos permiten hacer las siguientes observaciones respecto a las R-´lgebras: Q es una Z-´lgebra; como Z-m´dulo Q no es semisimple, a a o pero como anillo Q es semis...
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