Condiciones de cadena a1 m 1 0 b1 a2 m 2 0 b2 a1 a2 a1

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Unformatted text preview: ue P, as´ que son finitamente generados debido a la a ı maximalidad de P. Sea P + Ra = p1 + r1 a, . . . , pn + rn a con pi ∈ P, ri ∈ R, entonces P0 := p1 , . . . , pn ⊆ P. Claramente se satisface que P0 + Ra = P + Ra. M´s a a´n, P0 + (P : a )a = P : en efecto, la inclusi´n ⊆ es trivial. Para la otra inclusi´n, u o o sea p ∈ P. Como P ⊆ P + Ra = P0 + Ra, entonces, p = p0 + ra con p0 ∈ P0 , r ∈ R, luego ra = p − p0 , luego r ∈ (P : a ), y as´ p ∈ P0 + (P : a )a. Finalmente, como ı 1.6. EJERCICIOS 17 P0 y (P : a ), son finitamente generados y P = P0 + (P : a )a, se tiene que P es finitamente generado, lo cual es una contradicci´n; luego P es un ideal primo. o Con la propiedad de Cohen podemos completar el presente ejemplo: probemos que si R es noetheriano, entonces cada ideal primo P de R[[x]] es finitamente generado. Consideremos el conjunto P0 de elementos r ∈ R tal que r es el t´rmie no independiente de alguna serie f (x) de P . Entonces, P0 = r1 , . . . , rn , y sean f1 , . . . , fn las series de P que tienen t´rminos constantes r1 , . . . ,...
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