Consideremos el conjunto p0 de elementos r r tal que

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Unformatted text preview: × I2 × · · · × In ⊆ I1 × I2 × · · · × In ⊆ · · · ⊆ I1 × I2 × · · · × In ⊆ · · · 16 CAP´ ITULO 1. CONDICIONES DE CADENA Se obtienen entonces las cadenas 1 2 m I1 ⊆ I1 ⊆ · · · ⊆ I1 ⊆ · · · 1 2 m I2 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ I2 ⊆ · · · 1 2 m In ⊆ In ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · Para cada 1 ≤ j ≤ n, existe mj tal que cada una de las anteriores cadenas se detiene p p k k en mj . Sea p := m´x {mj }n=1 . Entonces, I1 = I1 , · · · , In ⊆ I1 para cada k ≥ p, es a j decir, Jk = Jp , para cada k ≥ p. Esto muestra que A es noetheriano a derecha. ⇒) Esta parte se deduce de la proposici´n 1.1.3 y de que para cada 1 ≤ i ≤ n, o Ai es una imagen homomorfa de A. Ejemplo 1.5.2. Veremos en este ejemplo el teorema de la base de Hilbert para el anillo de series formales en el caso conmutativo, es decir, demostraremos que si R es un anillo conmutativo, entonces R[[x]] es noetheriano ⇔ R es noetheriano. En efecto, supongamos que R[[x]] es un anillo...
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