Demuestre que m es semisimple si y slo si soc m o o m

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Unformatted text preview: n lo probado arriba y, seg´n la proposici´n 3.1.3, numeral (xi), se tiene que para u o cada 1 ≤ i ≤ n, Aei es minimal, es decir, A A es semisimple. De la ultima parte de la demostraci´n de la proposici´n anterior y del corolario ´ o o 5.1.4(iv), se desprende inmediatamente el siguiente resultado. Corolario 5.2.3. Sea A un anillo semisimple. Entonces, A se descompone en una suma directa finita de ideales minimales derechos (izquierdos). Tal descomposici´n o es unica en el sentido del teorema de Krull-Schmidt. Adem´s, AA y A A tienen la ´ a misma longitud finita. Proposici´n 5.2.4. Sea A un anillo. Entonces, A es semisimple si, y s´lo si, cao o da A-m´dulo derecho es semisimple. La proposici´n es tambi´n v´lida por el lado o o ea izquierdo. Demostraci´n. ⇒) M = m∈M mA es semisimple ya que mA es imagen homomorfa o del semisimple AA . ⇐) Evidente ya que A es A-m´dulo derecho. o Ejemplo 5.2.5. (i) Todo anillo de divisi´n es un anillo semisimple ya que sus unicos o ´ ideales derechos son lo...
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